2013　宮城大学　後期MathJax

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{キ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(1)　大小$2$つのサイコロがある．サイコロをそれぞれ$1$回ずつふり，大きいサイコロの出た目の数を$a\text{，}$小さいサイコロの出た目の数を$b$とする．このとき，相加平均と相乗平均に関する不等式

${\displaystyle \frac{a+b}{2}}>\sqrt{ab}$

が成り立つ場合の確率は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{キ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

(2)　次の方程式の解を求めたい．

$x^{5-2{\log }_{3}x}=9\cdots \text{①}$

真数条件から，$x>\boxed{\text{イ}}$である．

　底を$3$として$\text{①}$の両辺の対数をとり，$X={\log }_{3}x$と置き換えたとき，次の$X$に関する$2$次方程式

$\boxed{\text{ウ}}{X}^2+\boxed{\text{エ}}X+\boxed{\text{オ}}=0$

が得られる．

　これより，$x=\boxed{\text{カ}}$または$x=\boxed{\text{キ}}$（ただし，$\boxed{\text{カ}}<\boxed{\text{キ}}$とする．）となり，これらは真数条件を満たす．

【２】　次の空欄$\boxed{\text{サ}}$から$\boxed{\text{テ}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

放物線$y=-x^2+6x-11\cdots \text{①}$

と定点$\mathrm{A}(1,-1)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\text{①}$上の$2$点$\mathrm{B}(4,-3)\text{，}\mathrm{C}(1,-6)$の点$\mathrm{A}$に関して対称な点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$の座標は，

$\mathrm{D}(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})\text{，}\mathrm{E}(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})$

となる．

(2)　点$\mathrm{A}$に関して$\text{①}$と対称な放物線を表す$2$次関数は，

$y=\boxed{\text{ソ}}{x}^2+\boxed{\text{タ}}x+\boxed{\text{チ}}\cdots \text{②}$

となる．

(3)　放物線$\text{②}$上の$2$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$間を動く点$\mathrm{P}$がある．このとき，$▵\mathrm{PDE}$の面積$S$が最大になるときの点$\mathrm{P}$の$x$座標は$\boxed{\text{ツ}}$となる．また，そのときの$▵\mathrm{PDE}$の面積は$\boxed{\text{テ}}$である．

【３】　次の空欄$\boxed{\text{ナ}}$から$\boxed{\text{ム}}$にあてはまる数や式を，解答欄に書きなさい．

　$xy$平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(15,0)\text{，}$$\mathrm{B}(11,10)\text{，}$$\mathrm{C}(1,5)$を頂点とする四角形$\mathrm{OABC}$があり，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{CB}$を各々$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{CO}\text{，}$$\mathrm{BA}$を各々$s:1-s$に内分する点を$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{L}$とする．

　このとき，次の各問いに答えよ．ただし，$0<s<1\text{，}$$0<t<1$とする．

(1)　$2$点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}$の座標を$s\text{，}$$t$を用いて表せば，

$\mathrm{L}(\boxed{\text{ナ}},\boxed{\text{ニ}})\text{，}$$\mathrm{M}(\boxed{\text{ヌ}},\boxed{\text{ネ}})$

となる．

(2)　四角形$\mathrm{KLMN}$が平行四辺形になるときの$s\text{，}$$t$の値を求めれば，

$s=\boxed{\text{ノ}}\text{，}$$t=\boxed{\text{ハ}}$

となる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{NL}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{MK}}=\boxed{\text{ヒ}}$である．

(3)　線分$\mathrm{MK}$を$s:1-s$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{NL}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，それぞれの座標を$s\text{，}$$t$を用いて表せば，

$\mathrm{P}(\boxed{\text{フ}},\boxed{\text{ヘ}})\text{，}$$\mathrm{Q}(\boxed{\text{ホ}},\boxed{\text{マ}})$

である．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\boxed{\text{ミ}}}$である．また，$t={\displaystyle \frac{2}{5}}$のとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2$を最小にする$s$の値は$s=\boxed{\text{ム}}$である．

【４】　次の各問いに答えなさい．

(1)　命題$\text{「}\mathrm{P}⟹\mathrm{Q}\text{」}$に対して，その対偶を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を用いて表せ．また，背理法を用いて命題$\text{「}\mathrm{P}⟹\mathrm{Q}\text{」}$が真であることを証明するとはどのようなことか簡潔に述べよ．

(2)　$n$を整数とする．「$n^2$が偶数ならば，$n$は偶数である．」という命題を対偶を用いて証明せよ．

(3)　点$(3,-1)$のように$x$座標，$y$座標がともに整数であるような点を格子点という．

　このとき，「直線$l\text{：}y=\sqrt{2}x$は原点$\mathrm{O}(0,0)$を除きどのような格子点も通過し得ない．」ことを背理法を用いて証明せよ．

【４】　次の各問いに答えなさい．

(1)　$n$を整数とする．「$n^2$が偶数ならば，$n$は偶数である．」という命題を対偶を用いて証明せよ．

(2)　点$(3,-1)$のように$x$座標，$y$座標がともに整数であるような点を格子点という．

　このとき，「直線$l\text{：}y=\sqrt{2}x$は原点$\mathrm{O}(0,0)$を除きどのような格子点も通過し得ない．」ことを背理法を用いて証明せよ．