2013　会津大学　前期MathJax

【１】　(1)の問いに答えよ．また，(2)から(6)までの空欄をうめよ．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_{-2}^1}x\sqrt{x+3}dx=\boxed{\text{イ}}$

【１】　(1)の問いに答えよ．また，(2)から(6)までの空欄をうめよ．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^x\sin xdx=\boxed{\text{ロ}}$

【１】　(1)の問いに答えよ．また，(2)から(6)までの空欄をうめよ．

(2)　$2$つの放物線$y=4x^2$と$y={(x-1)}^2$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{ハ}}$である．

【１】　(1)の問いに答えよ．また，(2)から(6)までの空欄をうめよ．

(3)　$\sqrt{-2}\sqrt{-3}=\boxed{\text{ニ}}$である．

【１】　(1)の問いに答えよ．また，(2)から(6)までの空欄をうめよ．

(4)　方程式${\log }_3(x-5)=2-{\log }_3(x+3)$の解は$x=\boxed{\text{ホ}}$である．

【１】　(1)の問いに答えよ．また，(2)から(6)までの空欄をうめよ．

(5)　$0\leqq x\leqq \pi$において$\sin 2x-{\displaystyle \frac{1}{2}}=\sin x-\cos x$のとき，$x=\boxed{\text{ヘ}}$である．

【１】　(1)の問いに答えよ．また，(2)から(6)までの空欄をうめよ．

(6)　$5$個の数字$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$を重複なく用いて作られる$5$桁の整数を小さい順に並べる．初めて$20000$以上になる整数は$\boxed{\text{ト}}$で，それは$\boxed{\text{チ}}$番目である．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$2\text{，}4\text{，}3$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{OM}$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\boxed{\text{ロ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ハ}}\overrightarrow{b}$

である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{ニ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ホ}}\overrightarrow{b}$

である．

【３】　$n$を自然数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 3\end{array}\right)$について，次の手順で$A^n$を求める．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　行列$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ a& b\end{array}\right)$が$P^{-1}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)P=A$を満たすとき，$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}b=\boxed{\text{ロ}}$である．

(2)　${\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}{x}_n& {\displaystyle \frac{n}{2}}{x}_n\\ 0& x_n\end{array}\right)$と表せる．このとき，$x_n=\boxed{\text{ハ}}$である．

(3)　$A^n=\boxed{\text{ニ}}$である．

【４】　袋の中に，$1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉，$3$と書かれた玉，$6$と書かれた玉が$1$つずつ，全部で$4$個入っている．ここから玉を$1$つ取り出して袋に戻すことを$3$回行う．取り出した玉に書かれた数を順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a+b+c$が奇数になる確率を求めよ．$\boxed{\text{イ}}$

(2)　$a\times b\times c$が偶数になる確率を求めよ．$\boxed{\text{ロ}}$

(3)　$a\times b\times c$が$6$の倍数になる確率を求めよ．$\boxed{\text{ハ}}$

(4)　$a\times b+b\times c+c\times a$が$3$の倍数になる確率を求めよ．$\boxed{\text{ニ}}$

【５】　関数$y=e^{2x}-2e^x$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，増減表をつくり，そのグラフを座標平面上に描け．ただし，漸近線および座標軸との交点も調べること．

（結論に至る過程も記述すること．）

【６】　$n$を自然数とするとき，次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={\displaystyle \frac{n^2{(n+1)}^2}{4}}$