2013　福島県立医科大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって，点$(2,-3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(2)　座標平面上の曲線$C\text{：}{x}^2+xy+y^2=3$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　原点のまわりの$45\mathrm{°}$の回転移動によって，$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$で囲まれた図形のうち，$y\geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(3)　座標平面上において，曲線$C_1\text{：}y=x\log x\text{（}x\geqq 1\text{）}$と放物線$C_2\text{：}y=a{x}^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線$l$を持つものとする．

(ⅰ)　$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　$C_1\text{，}{C}_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1\text{，}l$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1\text{，}{S}_2$の値を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}B$で表し，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表す．$\tan \theta ={\displaystyle \frac{3}{4}}$になる$\theta (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について，${\displaystyle \frac{a}{c}}\cos (B-\theta )+{\displaystyle \frac{b}{c}}\cos (A+\theta )$の値を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(5)　$n$は自然数とする．導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(6)　$n$は$2$以上の自然数とする．${\displaystyle \frac{1}{2^n}}$は，小数第$(n-1)$位が$2\text{，}$小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表されることを示せ．

【２】　一辺の長さが$8$である正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$があって，$\mathrm{AD}=\mathrm{OE}=\mathrm{OF}=5$を満たしている．$▵\mathrm{DEF}$の重心$\mathrm{G}$を通り$▵\mathrm{DEF}$を含む平面に垂直な直線が，$▵\mathrm{ABC}$を含む平面と交わる点を$\mathrm{H}$とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{DEFH}$の体積を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(-1,-1,0)\text{，}\mathrm{D}(1,-1,0)\text{，}\mathrm{G}(0,0,\sqrt{2})$を$xyz$空間の点とする．正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$\mathrm{G}$を頂点とする四角すいの内部の点$\mathrm{P}(x,y,z)$で，$x^2+y^2\leqq 1$を満たす点を集めた図形を$V$とする．また，平面$z=a$で$V$を切断したときの切断面を$S_a$とする．ただし，$0<a<\sqrt{2}$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$S_a$が正方形となる$a$の最小値を$z_0$とする．$z_0$の値を求めよ．

(2)　(1)の$z_0$について，$0<a<z_0$とする．$\cos \theta =1-{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}}$を満たす$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を用いて$S_a$の面積を表せ．

(3)　$V$の体積を求めよ．