2013　高崎経済大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を，

$a_1=2\text{，}{a}_2=4\text{，}{a}_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．以下の各問に答えよ．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}$で，$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$であるとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$\sin \theta -\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$\tan \theta$の値を求めよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(1)　$x$の$2$次不等式$x^2-(a+2)x+2a<0$の解が，$1<x<2$となるような定数$a$の値を求めよ．

(2)　$x$の$2$次不等式$x^2-(a+2)x+2a<0$と$3x^2+2x-1>0$を同時に満たす整数$x$がただ$1$つ存在するように，定数$a$の範囲を求めよ．

【４】　$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x$について，以下の各問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフにおいて，$f(x)$が極大となる点を$\mathrm{A}\text{，}$極小となる点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を両端とする線分の中点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフ上に点$\mathrm{D}$をとる．ただし，$\mathrm{D}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より大きいものとする．いま，三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$480$であるとき，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を結ぶ直線の式を求めよ．

【５】　$2$つの円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=16$と$C_2\text{：}{x}^2+{(y-8)}^2=4$があるとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の本数を答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の方程式をすべて求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線の交点のうち，原点から最も遠い交点の座標を求めよ．