2013　高崎経済大学　中期MathJax

【１】　$x\text{，}y$が以下の$2$つの不等式

$\begin{array}{ll}x<1& \cdots \text{①}\\ {\log }_{2}y{\log }_{x}y+{\log }_2{\displaystyle \frac{x}{y^2}}-{\log }_{x}2>0& \cdots \text{②}\end{array}$

を満たすとする．

(1)　不等式$\text{②}$を変形すると

${\displaystyle \frac{1}{{\log }_{2}x}}\{{({\log }_2\boxed{\text{ア}})}^2-1\}>0$

となる．

　$\boxed{\text{ア}}$に適切な式を入れて上の文章を完成させよ．ただし，$\boxed{\text{ア}}$は真数を表す．

(2)　$2$つの不等式$\text{①}\text{，}\text{②}$を同時に満たす点$(x,y)$の領域を$xy$平面上に図示せよ．

【２】　座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(3,2,0)\text{，}\mathrm{B}(2,3,1)\text{，}\mathrm{C}(2,0,-1)$の定める平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となる実数$s\text{，}t$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【３】　$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれた$10$個の玉が入っている袋がある．「この袋の中から無作為に玉を$1$個取り出し，その玉に書かれている自然数を記録用紙に記入してから袋の中に戻す」という作業を考える．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　この作業を$4$回繰り返すとき，記録される$4$つの自然数の最大値が$6$である確率を求めよ．

(2)　この作業を$3$回繰り返すとき，記録される$3$つの自然数の最大値が$6$であり，かつ最小値が$3$である確率を求めよ．

【４】　$a$を正の定数とし，$xy$平面において$x\geqq 0$の表す領域を$D$とする．$xy$平面上の直線$y=tx$と曲線$y=x|x-a|$について，以下の問に答えよ．

(1)　実数$t$が変化するとき，領域$D$において$t=tx$と$y=x|x-a|$の共有点の個数はどのように変化するか．$t$の値によって分類せよ．

(2)　$0<t<a$とする．領域$D$において，$y=tx$と$y=x|x-a|$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．