2013　首都大学東京　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=|x^2-3x|-x$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　直線$l:y=-x+k$と$y=f(x)$のグラフがちょうど$3$点を共有するとき，定数$k$の値を求めなさい．

(3)　(2)で求めた$k$の値に対する直線$l$と$y=f(x)$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．

【２】　$xy$平面で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．点$\mathrm{P}$を次のルールで格子点上を移動させる．

・さいころをふって出た目が$1$または$2$のとき，$x$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．

・さいころをふって出た目が$3$または$4$のとき，$y$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．

・さいころをふって出た目が$5$または$6$のとき，動かさない．

以下の問いに答えなさい．ただし，答えのみでなく理由も述べなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,0)$とする．さいころを$3$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標が$(1,1)$である確率を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,0)$とする．さいころを$5$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標を$(m,n)$とする．$m$と$n$がともに正で$m+n=3$である確率を求めなさい．

【３】　漸化式

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定まる数列$\{a_n\}$について考える．以下の問いに答えなさい．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^n}}$とおき，数列$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とする．すなわち，$c_n=b_{n+1}-b_n$と定める．数列$\{c_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【４】　$a$は$0$でない定数とし，$b$と$c$を定数とする．$k$がすべての実数を動くとき，$xy$平面上の直線$l:y=kx+k^2+3k+1$はつねに放物線$C:y=a{x}^2+bx+c$に接するものとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めなさい．

(2)　直線$l$と放物線$C$の接点を$\mathrm{P}$とするとき，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{OP}$の中点$\mathrm{Q}(s,t)$の軌跡の方程式を求めなさい．

【１】　$\overrightarrow{a}=(1,0,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,1,0)$とする．点$\mathrm{P}(1,1,0)$を通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$l_1$とし，点$\mathrm{Q}(0,0,1)$を通り，$\overrightarrow{b}$に平行な直線を$l_2$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$l_1$上の点$\mathrm{R}$と$l_2$上の点$\mathrm{S}$を通る直線$l_3$が，$l_1$と$l_2$に垂直であるとする．このとき，$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$の座標を求めなさい．

(2)　$l_1$上の$2$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$が$\mathrm{EF}=2$を見たしながら動き，$l_2$上を点$\mathrm{G}$が動くとき，$▵\mathrm{EFG}$の面積の最小値を求めなさい．

【２】　$A\text{，}B\text{，}P$を実数を成分とする$2$次の正方行列とする．$P$は逆行列をもち，$P^{-1}AP$の$(1,2)$成分と$(2,1)$成分は$0$となるものとする．$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& 0\\ 0& a_2\end{array}\right)\text{，}{P}^{-1}BP=\left(\begin{array}{cc}{b}_1& b_2\\ b_3& b_4\end{array}\right)$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)　$a_1\ne a_2$かつ$AB=BA$が成り立つとき，$b_2=b_3=0$であることを示しなさい．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 3\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}c& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$とするとき，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}c$の値を求めなさい．

(3)　$A\text{，}P$を(2)で与えた行列とし，$B=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& 0\end{array}\right)$とする．正の整数$m\text{，}n$に対し${(A^m+B^m)}^n$を求めなさい．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面で，関数$y=\sqrt{x^2-1}\text{（}x\geqq 1\text{）}$のグラフを$C$とする．また，$t>1$を満たす実数$t$に対し，直線$x+y=t$と$C$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$x+y=t$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい．

(2)　次の極限値を求めなさい．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(1+{\displaystyle \frac{k(t-1)}{n}}){\displaystyle \frac{t-1}{\sqrt{2}n}}$

(3)　線分$\mathrm{OP}\text{，}x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい．

【１】　$1$から$10$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$10$枚のカードがあり，左から小さい番号の順に横$1$列に並べてある．この中から，無作為に$2$枚のカードを選び，その場所を入れ換える操作を考える．$n$を正の整数として，この操作を$n$回行なったとき，左端にあるカードに書かれている番号が$1$である確率を$p_n$とする．以下の問いに答えなさい．ただし，答えのみでなく理由も述べなさい．

(1)　$p_1$を求めなさい．

(2)　$n$回目の操作のあと，$1$が書かれたカードが左端になく，$(n+1)$回目の操作のあとに$1$が書かれたカードが左端にある確率を$q_n$とするとき，$q_n$を$p_n$を用いて表しなさい．

(3)　$p_{n+1}$と$p_n$の間に成り立つ関係式を求めなさい．

(4)　$p_n$を$n$を用いて表しなさい．

【２】　実数$a$に対し

$I={\displaystyle {\int }_0^1}|x{e}^x-a|dx$

とする．以下の問いに答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$0<a<e$のとき，$t{e}^t=a$を満たす実数$t\text{（}0<t<1\text{）}$がただ$1$つ存在することを示しなさい．

(2)　$0<a<e$のとき，$I$の値を(1)を用いて表しなさい．

(3)　$a$がすべての実数を動くとき，$I$の値を最小にする$a$とそのときの$I$の値を求めなさい．

【３】　$a\text{，}b$は$a<b$を満たす実数とする．正の整数$n$に対し，座標平面上の$(2^n+1)$個の点

${\mathrm{P}}_k(a+{\displaystyle \frac{k(b-a)}{2^n}},{\{a+{\displaystyle \frac{k(b-a)}{2^n}}\}}^2)\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}{2}^n\text{）}$

を考える．$X_n$を${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2^n}\text{，}{\mathrm{P}}_0$をこの順に結んで得られる$(2^n+1)$角形とし，$X_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$S_1$を求めなさい．

(2)　$S_2-S_1\text{，}{S}_3-S_2$を求めなさい．

(3)　$S_n$を求めなさい．