2013　横浜市立大　前期医学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数として，$A\text{，}B\text{，}C$を

$A=a+b+c\text{，}B=a^2+b^2+c^2\text{，}C=a^3+b^3+c^3$

とおく．このとき$abc$を$A\text{，}B\text{，}C$を用いて表せ$\boxed{\text{(1)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　$n$を自然数とする．このとき

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{{}_{2n}C_{2k+1}}{2k+2}}$

を求めよ$\boxed{\text{(2)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　ボタンを押すと$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$いずれかの文字が画面に表示される機械がある．その機械では，$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が表示される確率は，等しくかつ$\mathrm{Z}$が表示される確率の$2$倍である，とする．

　いま，ボタンを$5$回続けて押す．このとき，（$\mathrm{XYZYX}$のように）$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$すべての文字が少なくとも$1$回表示される確率を求めよ$\boxed{\text{(3)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(4)　逆行列をもつ$2$次の正方行列$A$が表す$1$次変換が，円$C:{(x-1)}^2+{(y-\sqrt{3})}^2=3^2$上の点を$C$上の点に移すとき，$A$を求めよ$\boxed{\text{(4)}}$．ただし，$A$は単位行列と異なる行列とする．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(5)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sin x+\cos x}}dx$

を求めよ$\boxed{\text{(5)}}$．

【２】　$a$を正の定数とする．$n$を$0$以上の整数とし，多項式$P_n(x)$を$n$階微分を用いて

$P_n(x)={\displaystyle \frac{d^n}{{dx}^n}}{(x^2-a^2)}^n\text{（}n\geqq 1\text{）}$，$P_0(x)=1$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$n=2$および$n=3$に対して

$P_2(-a)\text{，}{P}_3(-a)$

を求めよ．

(2)　$u=u(x)\text{，}v=v(x)$を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，ライプニッツの公式

${(uv)}^{(n)}={}_{n}C_0{u}^{(n)}v+{}_{n}C_1{u}^{(n-1)}{v}^{\prime }+\cdots$$+{}_{n}C_k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}+\cdots$$+{}_{n}C_{n-1}{u}^{\prime }{v}^{(n-1)}+{}_{n}C_{n}u{v}^{(n)}$

を数学的帰納法を用いて証明せよ（ただし，$n\geqq 1$）．ここで，$w^{(k)}$は$w=w(x)$の第$k$次導関数を表し，また$w^{(0)}=w$とする．

(3)　一般の$n$に対して

$P_n(-a)\text{，}{P}_n(a)$

を求めよ．

【３】　座標平面上において，原点を中心とする半径$1$の円に，放物線$C:y=-{\displaystyle \frac{p}{2}}{x}^2+q\text{（}p>0\text{，}q>0\text{）}$が異なる$2$点で接しているとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q$の満たす関係式および$p\text{，}q$の取りうる範囲を求めよ．

(2)　$x$軸と$C$で囲まれた図形（ただし，$y\geqq 0$）の面積$S$を$p$を用いて表せ．

(3)　(1)の条件の下で$p$が動くとき，$S$の最小値を求めよ．