2013　富山県立大学　前期工学部MathJax

【１】　$a$は定数とする．$xy$平面上で連立不等式

$y+ax-5\leqq 0\text{，}0\leqq x\leqq 2\text{，}0\leqq y\leqq 3$

が表す領域の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=2$のとき，$S$の値を求めよ．

(2)　$a=3$のとき，$S$の値を求めよ．

(3)　$a\geqq 1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

【２】　$2$から$21$までの整数がそれぞれ$1$つずつ書かれた$20$個のボールが，箱の中に入っている．まず，箱の中の$20$個のボールから$1$個を取り出し，そのボールに書かれた数を$p$とする．次に，箱の中の$19$個のボールから$1$個を取り出し，そのボールに書かれた数を$q$とする．このとき，次の確率を求めよ．

(1)　${\log }_{10}(p+q)=1$となる確率

(2)　${\log }_{10}p>{\log }_{10}q$となる確率

(3)　${\log }_{p}q>2$となる確率

(4)　$2{\log }_{p}q$が整数となる確率

【３】　$x\geqq 0$とする．関数$f(x)=e^{-2x^3}\text{，}g(x)=x{e}^{-x^3}$について，次の問いに答えよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)=0$は証明なしに用いてよい．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$y=g(x)$の増減，極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(3)　$a\geqq 0$とし，曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a\text{，}x=a+1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }{e}^{2a^3}V(a)$を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数とする．$1$次変換は，座標平面上の任意の点$(x,y)$を同じ平面上の点$(X,Y)$に移す変換で，その変換の規則が

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

と表せるものである．このとき，行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を$1$次変換を表す行列という．次の変換が，$1$次変換であるならばその$1$次変換を表す行列を求め，$1$次変換でないならばその理由を述べよ．

(1)　座標平面上の任意の点をそれ自身に移す変換

(2)　座標平面上の任意の点を直線$y=-x$に関して対称な点に移す変換

(3)　座標平面上の任意の点を$x$軸方向に$2\text{，}y$軸方向に$4$だけ移動する変換

【４】　条件$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=3a_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n=a_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}$とおいて数列$\{b_n\}$の初項と漸化式，および一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$を求めよ．

(3)　$2$直線$y={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}x\text{，}y={\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}x$のなす鋭角を${\theta }_n$とするとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }\tan {\theta }_n$を求めよ．