2013　富山県立大学　推薦工学部MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$は正の定数とする．$A\text{，}B\text{，}C$をそれぞれ次の立体とする．

$A$：半径が$a$の球

$B$：底面の半径が$b\text{，}$高さが$2b$の円柱

$C$：底面の半径が$c\text{，}$高さが$2c$の円錐

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A\text{，}B\text{，}C$の体積が等しいとし，その値を$V$とする．このとき，$a^3\text{，}{b}^3\text{，}{c}^3$を$V$を用いて表せ．

(2)　(1)のとき，${\displaystyle \frac{b^3}{a^3}}\text{，}{\displaystyle \frac{c^3}{a^3}}$の大小関係を不等式で表せ．

(3)　$A\text{，}B\text{，}C$の表面積が等しいとし，その値を$S$とする．このとき，$a^2\text{，}{b}^2\text{，}{c}^2$を$S$を用いて表せ．

(4)　(3)のとき，${\displaystyle \frac{b^2}{c^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{c^2}{a^2}}$の大小関係を不等式で表せ．

【２】　袋の中に，数字の$1$が書かれたカードが$3$枚，数字の$2$が書かれたカードが$2$枚，数字の$3$が書かれたカードが$1$枚，数字の$4$が書かれたカードが$1$枚，合計$7$枚のカードが入っている．この袋の中から，何枚かのカードを取り出すとき，次の問いに答えよ．ただし，各カードには数字が$1$つだけ書かれているものとする．

(1)　$7$枚のカードから同時に$2$枚のカードを取り出すとき，取り出したカードの中に，$1$が書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれている確率を求めよ．

(2)　$7$枚のカードから同時に$2$枚のカードを取り出すとき，取り出したカードに書かれている数の合計の期待値を求めよ．

(3)　$7$枚のカードから同時に$3$枚のカードを取り出すとき，取り出したカードに書かれている数の合計が$6$となる確率を求めよ．

【３】　$3$次関数$f(x)=4x^3-9x^2+6x$について，次の問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(3)　$g(x)=f^{\prime }(x)$とおく．このとき，定積分${\displaystyle {\int }_{-3}^3}g(x)dx$を求めよ．

【４】　$n\text{，}p\text{，}q$は正の整数とする．次の問いに答えよ．

(1)　次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，初項から第$p$項までの和$A_p$を求めよ．

$1\text{，}7\text{，}{7}^2\text{，}{7}^3\text{，}{7}^4\text{，}\cdots$

(2)　次の数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．また，初項から第$q$項までの和$B_q$を求めよ．

${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{5}{3}}\text{，}\cdots$

(3)　(1)，(2)で求めた$A_p\text{，}{B}_q$について，等式$A_3=B_q$が成り立つときの$q$を求めよ．