2013　福井県立大学　後期MathJax

【１】　さいころを$100$回振るとき，$1$の目がちょうど$k$回出る確率を$P_k$とする．次の問１，問２に答えよ．

問１　${\displaystyle \frac{P_k}{P_{k-1}}}$の値を$k$の式で表せ．

問２　$P_k$が最も大きくなるときの$k$の値を求めよ．

【２】　点$\mathrm{A}(2,1,3)\text{，}$点$\mathrm{B}(5,3,1)$と，$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}$がある．次の問１，問２に答えよ．

問１　$xy$平面に関して点$\mathrm{B}$と対称な点$\mathrm{C}$の座標を答えよ．

問２　$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$の最小値を求めよ．

【３】　$f(x)=|x^2-2x-3|+x+2$とする．次の問１〜問３に答えよ．

問１　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

問２　曲線$y=f(x)$と，直線$y=2x+3$の共有点の個数を求めよ．

問３　放物線$y=-x^2$の$x=a$における接線が，曲線$y=f(x)$と共有点をもたないときの，$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　次の問１〜問３に答えよ．ただし，どの問も，お金の預け入れ，または借り入れの際の利子の計算は，$1$年ごとに利子を元金に繰り入れる方法（複利法）によるものとする．

問１　ある$10$年計画の事業$\mathrm{A}$に投資すると，毎年末に$10$万円の利益がある．毎年の収益を年利率$2\mathrm{\%}$で預金すると，$10$年間の収益の合計（利子を含む）はいくらになるか．ただし，${1.02}^{10}=1.219$とする．

問２　$10$万円を年利率$8\mathrm{\%}$で借りたとき，利子を含めた借金の合計が$100$万円を超えるのは何年後からか．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

問３　ある事業$\mathrm{B}$は$1$年後に$27$万円，$2$年後に$26$万円の収益が見込まれるが，最初に$50$万円の資金が必要である．この資金$50$万円を$2$年間借り入れ，$1$年後の収益$27$万円を$1$年間預金することにした．ただし，借り入れの年利率と預金の年利率は，ともに$r$とする．このとき，$2$年分の収益の合計（利子を含む）が，借金の返済額より大きくなるためには，年利率$r$は何$\mathrm{\%}$より小さくなければならないか．