2013　岐阜薬科大学　中期MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　定数$k$について，方程式$f(x)-k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．

【２】　空間内に$5$点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,2,2)\text{，}\mathrm{C}(0,1,3)\text{，}\mathrm{D}(2,0,2)\text{，}\mathrm{E}(3,3,2)$がある．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のいずれにも垂直な単位ベクトルを求めよ．

(4)　五面体$\mathrm{ABCDE}$の体積を求めよ．

【３】　$xy$平面上に$7$点$\mathrm{A}(-4,1)\text{，}\mathrm{B}(-5,0)\text{，}\mathrm{C}(-3,0)\text{，}\mathrm{D}(-2,1)\text{，}\mathrm{E}(0,2)\text{，}\mathrm{F}(0,0)\text{，}\mathrm{G}(2,0)$がある．四角形$\mathrm{ABCD}$は右へ，三角形$\mathrm{EFG}$は左へ，それぞれ$x$軸に平行に毎秒$0.5$の速さで移動する．移動開始から$t$秒後の状況について，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{F}$が$t_1$秒後に点$\mathrm{C}$と，$t_2$秒後に点$\mathrm{B}$と一致した．$t_1$と$t_2$の値を求めよ．

(2)　$t_1<t<t_2$とする．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$と三角形$\mathrm{EFG}$の重なる部分の面積$S$を$t$を用いて表し，$S$の最大値を求めよ．

【４】　$2$点$(2,1)\text{，}(1,1)$をそれぞれ$(3,-8)\text{，}(2,-5)$に移す$1$次関数を$f$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f$を表す行列$A$を求めよ．

(2)　$A^2\text{，}{A}^3$を求めよ．

(3)　$A+A^2+A^3+\cdots +A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

【５】　$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺上を動く点$\mathrm{P}$がある．頂点$\mathrm{A}$を出発して，さいころを振るごとに，奇数の目が出たときは時計回りに$1$動き，偶数の目が出たときは反時計回りに$2$動くという試行を繰り返し，再び頂点$\mathrm{A}$に戻ったとき試行を終了する．

(1)　$3$回の試行すべてにおいて偶数の目が出て，試行を終了する確率を求めよ．

(2)　$3$回の試行後，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$にいる確率をそれぞれ求めよ．

(3)　$3k$回の試行後，試行を終了する確率を求めよ．ただし，$k$は正の整数とする．

【６】　空間内に$3$点$\mathrm{P}(t,0,2t\sqrt{1-t^2})\text{，}\mathrm{Q}(t,\sqrt{1-t^2},0)\text{，}\mathrm{R}(t,-\sqrt{1-t^2},0)$を考える．$t$が$0$から$1$まで動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体を$K$とする．

(1)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．

(2)　立体$K$の体積$V_1$を求めよ．

(3)　立体$K$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ．