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2013-11481-0101
2013 愛知県立大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 t を 1 ≦t≦6 を満たす実数とする.原点を O ( 0,0 ) とする座標平面上に,点 A ( 1,0 ) ,B ( 3,0 ), C (3 ,12) ,D ( 1,12) ,P (7 ,0) ,Q ( t,7⁢t -t2 ) をとる.長方形 ABCD と ▵ OPQ の共通部分の面積を f ⁡(t ) とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) f⁡( t) を求めよ.
(2) 3 個のさいころを同時に投げて,出た目の合計を m とする.このとき,
f⁡( m3 )< 3⁢m
となる確率を求めよ.
2013-11481-0102
【2】 座標平面上で,原点 O を始点とし第 1 象限の点 A を通る半直線 OA と x 軸の正の向きとのなす角を θ ( 0<θ< π 2 ) とする.点 B は x 軸上にあり, |OB →| =b , | OA→ |=a とする.原点 O から直線 AB に下ろした垂線と直線 AB との交点を P とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) AP→ =t⁢ AB→ とおく. OP→ =t⁢ OB→ +(1 -t) ⁢OA→ であることを示し, t を a , b ,θ で表せ.
(2) θ を固定し b =1 とする.点 P が線分 AB 上に存在するような a の値の範囲を求めよ.
(3) (2)において, ▵OAB の面積の最大値を求めよ.
(4) (2)において, θ= π 3 とする.面積が最大となる ▵ OAB は直角三角形であることを示せ.
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【3】 a を a >2 を満たす実数とし,
f⁡( t)= sin2⁡ at+t 2a ⁢t⁢sin ⁡a⁢t ,g⁡ (t) = sin2⁡ a⁢t- t2 a⁢t⁢ sin⁡a⁢ t ( 0<| t|< π 2⁢a )
とする.また, C を曲線 x2- y2= 4 a2 ( x≧ 2a ) とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 点 ( f⁡( t), g⁡( t) ) は,曲線 C 上の点であることを示せ.
(2) 点 ( limt→ 0f⁡ (t) ,limt →0 g⁡( t) ) における曲線 C の法線の方程式を求めよ.
(3) 曲線 C と(2)で求めた法線および x 軸とで囲まれた部分を, x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を V ⁡(a ) とする. V⁡( a) を a を用いて表せ.また, lima →∞ V⁡( a) を求めよ.
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【4】 J=( x y) ⁢( ab ca )⁢( x y ) とする.このとき,以下の問いに答えよ.ただし, a ,b , c ,x , y は実数とする.
(1) 次の等式を満たす d , e を a , b ,c を用いて表せ.
(2) b=c= 0 のとき, x=y= 0 を除くすべての x , y に対して f >0 となる a の条件を求めよ.
(3) P=( cos⁡ θ-sin ⁡θ sin⁡θ cos⁡θ ) とし, 0≦θ ≦ π2 とする.このとき,次の等式を満たす z , w ,θ を求めよ.ただし, b≠0 とする.
P-1 ⁢( a bb a )⁢P= (z 0 0w )
(4) (1)と(3)の結果を利用して, x=y= 0 を除くすべての x , y に対して f >0 となる a の条件を b , c を用いて求めよ.