2013　愛知県立大学　前期MathJax

【１】　$t$を$1\leqq t\leqq 6$を満たす実数とする．原点を$\mathrm{O}(0,0)$とする座標平面上に，点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(3,0)\text{，}\mathrm{C}(3,12)\text{，}\mathrm{D}(1,12)\text{，}\mathrm{P}(7,0)\text{，}\mathrm{Q}(t,7t-t^2)$をとる．長方形$\mathrm{ABCD}$と$▵\mathrm{OPQ}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(t)$を求めよ．

(2)　$3$個のさいころを同時に投げて，出た目の合計を$m$とする．このとき，

$f\left({\displaystyle \frac{m}{3}}\right)<3m$

となる確率を求めよ．

【２】　座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を始点とし第$1$象限の点$\mathrm{A}$を通る半直線$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．点$\mathrm{B}$は$x$軸上にあり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=b\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=a$とする．原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを示し，$t$を$a\text{，}b\text{，}\theta$で表せ．

(2)　$\theta$を固定し$b=1$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上に存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)において，$▵\mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．

(4)　(2)において，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．面積が最大となる$▵\mathrm{OAB}$は直角三角形であることを示せ．

【３】　$a$を$a>2$を満たす実数とし，

$f(t)={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}at+t^2}{at\sin at}}\text{，}g(t)={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}at-t^2}{at\sin at}}(0<\left|t\right|<{\displaystyle \frac{\pi }{2a}})$

とする．また，$C$を曲線$x^2-y^2={\displaystyle \frac{4}{a^2}}(x\geqq {\displaystyle \frac{2}{a}})$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$(f(t),g(t))$は，曲線$C$上の点であることを示せ．

(2)　点$(\underset{t\to 0}{\lim }f(t),\underset{t\to 0}{\lim }g(t))$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と(2)で求めた法線および$x$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(a)$とする．$V(a)$を$a$を用いて表せ．また，$\underset{a\to \infty }{\lim }V(a)$を求めよ．

【４】　$J=(\begin{array}{cc}x& y\end{array})\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}x\text{，}y$は実数とする．

(1)　次の等式を満たす$d\text{，}e$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　$b=c=0$のとき，$x=y=0$を除くすべての$x\text{，}y$に対して$f>0$となる$a$の条件を求めよ．

(3)　$P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$とし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき，次の等式を満たす$z\text{，}w\text{，}\theta$を求めよ．ただし，$b\ne 0$とする．

$P^{-1}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)P=\left(\begin{array}{cc}z& 0\\ 0& w\end{array}\right)$

(4)　(1)と(3)の結果を利用して，$x=y=0$を除くすべての$x\text{，}y$に対して$f>0$となる$a$の条件を$b\text{，}c$を用いて求めよ．