2013　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　$m$を整数として，二次関数$f(x)=x^2+mx+3$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$の解がすべて整数となる$2$個の$m$の値$m_1\text{，}{m}_2$を求めよ．

(2)　$g(x)=\min (x^2+m_{1}x+3,x^2+m_{2}x+3)$としたとき，$x$軸と曲線$y=g(x)$によって囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$\min (a,b)$は$a\text{，}b$のうち大きくない方の値を表す．

【２】　文字$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}$数字$1\text{，}2\text{，}3$と書かれたカードをそれぞれ$1$枚ずつ，合計$6$枚を箱に入れる．箱から無作為にカードを$2$枚引いて，図のような列$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$行$1\text{，}2\text{，}3$とする$3\times 3$のマス目に以下のルールに従って，石を置くか取り除く試行を行う．

・引いた$2$枚のカードが文字同士，数字同士の組合せである場合何もしない．

・引いた$2$枚のカードが文字と数字の組合せだった場合，もし，その文字と数字に対応するマス目に石が置かれていない場合，石を置く．もしそのマス目に石が置かれている場合，石を取り除く．

・カードは試行ごとに箱に戻すとする．

　例えば，右図の状態のあとカードを引いて，カードが$\mathrm{B}\text{，}1$の組合せの場合，$\mathrm{B}$列$1$行のマス目に石を置く．カードの組合せが$\mathrm{A}\text{，}2$の場合は，$\mathrm{A}$列$2$行のマス目には石が置かれているのでそれを取り除く．

　ただし，第$1$回目の試行を開始する前には，マス目には石は置かれていない．次の問いに答えよ．

(1)　第$1$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．

(2)　第$2$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．

(3)　第$3$回目の試行のあと，マス目に置かれている石の数の期待値を求めよ．

【３】　曲線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$（ただし，$x\leqq 0$）上に点$\mathrm{P}(a,{\displaystyle \frac{a^2}{2}})$を，曲線$y=x^2$（ただし，$x\geqq 0$）上に点$\mathrm{Q}(b,b^2)$をとる．$\mathrm{P}$および$\mathrm{Q}$における接線をそれぞれ$l\text{，}m$とする．$l$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\theta =\angle \mathrm{PRQ}$とする．$2b-a=4$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\theta$を直角にする$a$の値を求めよ．

(2)　$\theta$が直角でないとき，$\tan \theta$を$a$で表せ．

(3)　$\theta$が最大および最小となる$a$の値をそれぞれ求めよ．

【４】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(a,b)\text{，}\mathrm{B}(-b,a)\text{，}\mathrm{C}(a^2-b^2,4ab)$を考える．ただし，$a\text{，}b$はそれぞれ$a>0\text{，}b>0\text{，}a+b=1$を満たす任意の実数である．次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$が条件を満たしながら動くとき，点$\mathrm{C}$が描く図形を図で示せ．

(2)　$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とおくとき，$\theta$を最小にする$a$の値を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を最大にする$a$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=x\log x-\tan x$について，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\pi }{4}},f({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left)\right)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　定積分$A={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^{-ax}\cos 2xdx$を求めよ．ただし，$a\ne 0$とする．

(3)　定積分$B={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^{-ax}{\sin }^{2}xdx\text{，}C={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^{-ax}{\cos }^{2}xdx$を求めよ．ただし，$a\ne 0$とする．

【２】　$1$から$9$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ計$9$枚ある．図の$\mathrm{A}$から$\mathrm{I}$の位置にこの$9$枚のカードを$1$枚ずつ置くとき，次の問いに答えよ．

(1)　図１のように，$1$から$9$の数字が並べられている．$7\text{，}8\text{，}9$の$3$枚のカードを順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の位置に置くとき，どの行にも同じ数字が現れないカードの置き方は何通りあるか．

(2)　図１において，どの行にも同じ数字が現れないカードの置き方は何通りあるか．

(3)　図２において，どの行，どの列にも同じ数字が現れないカードの置き方は何通りあるか．

【３】　$2$次の正方行列$A\text{，}B$が$AB\ne BA\text{，}{A}^{2}B=ABA=B{A}^2$を満たすとする．

(1)　$A$は逆行列をもたないことを証明せよ．

(2)　$A^2$を求めよ．

(3)　$B^2$が単位行列$E$のとき，$AB+BA$を求めよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線$xy$と平面との交点をそれぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{R}}^{\prime }$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{PQR}\text{，}▵{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }$の面積をそれぞれ$S\text{，}{S}_1$とする．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$S_1=S|\cos \theta |$を示せ．

(2)　$\mathrm{O}$が$▵{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }$の周上を含む内部にあるとき，$z$軸と$▵\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする．このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{OA}\cdot S_1$となることを示し，$S_1$の最小値を求めよ．

(3)　$\mathrm{O}$が$▵{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }$の外部にあり，線分${\mathrm{OP}}^{\prime }$と線分${\mathrm{Q}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }$が交点$\mathrm{B}$をもつとき，点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．このとき四角形$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }$の面積を$S_2$とすると$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{CD}\cdot S_2$となることを示し，$S_2$の最大値を求めよ．