2013　名古屋市立大　後期経済学部MathJax

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,1)$があり，三角形$\mathrm{OAB}$の内部または周上に点$\mathrm{P}$をとる．辺$\mathrm{AB}$上において，点$\mathrm{P}$からの距離が最小となる点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$上にあり，線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OQ}$の長さが等しいときの$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{OP}\leqq \mathrm{PQ}$を満たす点$\mathrm{P}$が存在する範囲を図示せよ．

(3)　(2)で求めた点$\mathrm{P}$の存在範囲の面積を求めよ．

【２】　$n$を$3$以上の自然数とする．$1$から$n$までの自然数から$3$個の互いに異なる数字を選び並べる．その数字と数字の間に足し算（$+$）および掛け算（$\times$）の記号をそれぞれ$1$つずつ入れて数式を作り，その計算結果を$Y$とする．例えば，$n=5$で数字$2\text{，}3\text{，}5$を選び，数式が$2+5\times 3$なら$Y=17$である．ただし，$2+5\times 3\text{，}2+3\times 5\text{，}5\times 3+2$などは$Y$が同じでも異なる式とする．次の問いに答えよ．

(1)　$n=5$のとき，$Y=9$となる数式の個数はいくつか．

(2)　$Y$が奇数となる数式の個数を$n=5$のときと$n=6$のときについて求めよ．

(3)　$n=k$のときに$Y$が奇数となる数式の個数と，$n=k+1$のときに$Y$が奇数となる数式の個数との差が$500$以上となる最小の$k$を求めよ．

【３】　図のように，原点を開始点とし，平面上の格子点をうずまき状にたどっていくことを考える．選ばれた格子点は順に$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(1,1)\text{，}\cdots$となる．$n$番目に選ばれた格子点の$xy$座標を$(x_n,y_n)$で表す．$(x_n,y_n)$を用いて数列$\{a_n\}$を$a_n=x_n\cdot y_n$と定義する．数列$\{a_n\}$について次の問いに答えよ．

(1)　$a_{758}$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の初項から第$758$項までの和を求めよ．

【４】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$について辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{OB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$3$点$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$で決まる平面と直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$との交点を順に$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．

(3)　三角形$\mathrm{NLM}$と三角形$\mathrm{NRQ}$の面積比を求めよ．