2013　京都府立大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\sqrt[3]{7}$が無理数であることを証明せよ．

(2)　$\sqrt{7}$が無理数であることを用いて，$\sqrt{11}-\sqrt{7}$が無理数であることを証明せよ．

(3)　$k\text{，}l\text{，}m\text{，}n$は$k=\sqrt{l^2+m^2+n^2}$を満たす自然数とする．このとき，$l\text{，}m\text{，}n$のうち少なくとも$2$つが偶数であることを証明せよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$5$点$\mathrm{A}(-1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}\mathrm{D}(0,0,2)\text{，}\mathrm{E}(0,0,4)$をとる．中心が$\mathrm{D}\text{，}$半径が$2$の球面を$S$とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$S$が$\alpha$と交わってできる図形を$F$とする．$\mathrm{D}$から$\alpha$に垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．

(2)　$F$は$\mathrm{H}$を中心とする円であることを示せ．

(3)　$F$の半径と中心の座標を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$は$F$上を動く点とし，直線$\mathrm{EP}$と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}(s,t,0)$とする．このとき，$s\text{，}t$が満たす方程式を求めよ．

【３】　$0\leqq a<1$とする．$xy$平面上の曲線$C$を$y=1+x\sqrt{1-x^2}$で，直線$l$を$y=1+ax$で定める．$C$と$l$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$の関数と考えて$V(a)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$-1\leqq x\leqq 1$とするとき，不等式$2x\sqrt{1-x^2}\geqq x$を解け．

(2)　$V(a)$を$a$を用いて多項式で表せ．

(3)　$M_n={\displaystyle \frac{1}{2n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}V\left({\displaystyle \frac{k}{2n}}\right)$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{M}_n$を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c$は$0$でない実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$BAB$は対角行列，かつ$B^2$は単位行列とするとき，$B=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& r\end{array}\right)$の成分はすべて実数であることを示せ．

(2)　$a={\displaystyle \frac{5}{3}}\text{，}b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}c={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．自然数$n$に対して$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$かつ$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0$を示せ．

【１】　$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(4,3)$を中心とする半径$1$の円$D$がある．円$C$上に異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，円$D$上に点$\mathrm{P}$がある．$2$つの直線$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BP}$は円$C$の接線とする．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$(5,3)$とするとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．

(2)　上記(1)のとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が円$D$の円周上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡が点$({\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{8}})$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{24}}$の円となることを示せ．

【２】　定数$a$を実数とし，$0\leqq x<2\pi$とする．関数$f(x)=1-2a-2a\cos x-2{\sin }^{2}x$の最小値が${\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$a$の値とそのときの$f(x)$の最大値を求めよ．

【３】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　${18}^{20}$の桁数を求めよ．

(2)　$n$を自然数とする．${\left({\displaystyle \frac{4}{15}}\right)}^n$は小数で表すと，小数第$1$位から小数第$9$位まですべて$0$で，かつ小数第$10$位が$0$でない数字になるとする．このとき，$n$をすべて求めよ．

【４】　$x\geqq 0$とする．関数$f(x)=-x^3+x$と関数$g(x)=x^3-x^2$がある．$xy$平面上に曲線$C_1\text{：}y=f(x)$および曲線$C_2\text{：}y=g(x)$を定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$上の点$(1,0)$における曲線$C_1$の接線の方程式を求めよ．

(2)　上記(1)で得られた曲線$C_1$の接線と曲線$C_2$の接線が直交するとき，曲線$C_2$の接線の方程式を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$において，$f(x)\geqq g(x)$が成り立つことを示せ．

(4)　原点を通り，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれる図形の面積を二等分する直線の方程式を求めよ．