2013　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　放物線$C_1:y=2x^2$と放物線$C_2:y={(x-a)}^2+b$を考える．ただし，$a\text{，}b$は定数で，$a>0$とする．放物線$C_1$と$C_2$がともにある点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$において共通の接線$l$をもつとする．また，点$\mathrm{P}$で$l$と直交する直線を$m$とし，$m$と放物線$C_1\text{，}{C}_2$との$\mathrm{P}$以外の交点を，それぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

問１　$b$を$a$を用いて表せ．

問２　直線$m$の方程式，および，点$\mathrm{Q}\text{，}$点$\mathrm{R}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．

問３　$a={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，放物線$C_1$と直線$m$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　$f(x)=4x^2+2x+4\text{，}g(x)=x^2-x+1$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　すべての実数$x$に対して$f(x)>0\text{，}g(x)>0$が成り立つことを示せ．

問２　不等式

${\log }_a{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}<{\log }_a(2a+1)$

がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．ただし$a>0\text{，}a\ne 1$とする．

【３】　$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OB}=5\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$である三角形$\mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．次の問いに答えよ．

問１　辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

問２　$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問３　三角形$\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【４】　点$\mathrm{P}$は数直線上を動くものとする．$1$個のさいころを投げて，奇数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ進み，偶数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$2$だけ進む．$n$を自然数とする．さいころを続けて投げて，出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離が$n$以上になったら，そこでさいころを投げるのをやめるものとする．このときに，出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離がちょうど$n$である確率を$a_n$とする．また，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

問２　$a_{n+2}$を$a_{n+1}\text{，}{a}_n$を用いて表せ．

問３　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

問４　$b_n\text{，}{a}_n$を求めよ．

【１】　$p\text{，}q$は実数で，$p\ne 0$を満たすものとする．

$A=\left(\begin{array}{cc}p& p-1\\ -p& 1-p\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1-p& 1-p\\ p& p\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}q& q\\ p& p\end{array}\right)$

とおく．次の問いに答えよ．

問１　$A^2=A\text{，}{B}^2=B$が成り立つことを示せ．

問２　$AC=CA$であるための必要十分条件は，$q=1-p\text{，}$すなわち$C=B$であることを示せ．

問３　$x\text{，}y$を実数，$n$を自然数とするとき，${(xA+yB)}^n=x^{n}A+y^{n}B$が成り立つことを示せ．

【２】　座標平面の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲において，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\sin 2x$の交点の座標を$(a,b)$とし，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\tan x$の交点の座標を$(c,d)$とする．次の問いに答えよ．

問１　$a\text{，}b$および$d^2$の値を求めよ．

問２　$c>a$であることを示せ．

問３　連立不等式

$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}\cos x\leqq y\leqq \sin 2x\text{，}y\geqq \tan x$

の表す領域を図示し，その領域の面積を求めよ．

【３】　$a>1$を満たす定数$a$に対し，座標が$(a,a)$である点を$\mathrm{A}$とする．関数$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$のグラフ上を動く点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$をとり，$t>0$で定義された関数$f(t)$を，長さ$\mathrm{AP}$を用いて$f(t)={\mathrm{AP}}^2$で定める．次の問いに答えよ．

問１　$f(t)$を$t$と$a$を用いて表せ．

問２　$f^{\prime }(t)=0$となる$t\text{（}t>0\text{）}$の値を求めよ．

問３　$\mathrm{AP}$が最小になるような点$\mathrm{P}$の座標と，$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．

【４】　$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OB}=5$である三角形$\mathrm{OAB}$に対し，$k=\mathrm{AB}\text{，}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．次の問いに答えよ．

問１　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を$k$を用いて表せ．

問２　$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$k\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問３　三角形$\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$k\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問４　問３の$\mathrm{I}$と直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{H}$に対して，$\mathrm{IH}\perp \mathrm{OA}$が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{IH}}$を$k\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．