2013　大阪市立大学　後期MathJax

【１】　$a$と$b$は実数で，$a>0$とする．次の問いに答えよ．

問１　$2$つの曲線$y={\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2+b$と$y=\log x$がただ$1$つの共有点を持つとき，$a$を用いて$b$表せ．

問２　問１で求めた関係式を満たす$a\text{，}b$に$xy$平面上の点$\mathrm{P}(a,b)$を対応させるとき，点$\mathrm{P}(a,b)$の軌跡となる曲線を$C$とする．曲線$C$と曲線$y=\log x$および直線$x=1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$をとる．原点$\mathrm{O}$を中心とする角$\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の回転移動により$\mathrm{A}$が移動される点を$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{B}$が移動される点を$\mathrm{D}$とする．また，$▵\mathrm{OCD}$を$x$軸の周りに$1$回転させることにより得られる回転体の体積を$V$とする．次の問いに答えよ．

問１　$V$を$\theta$を用いて表せ．

問２　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$V$の最大値とそのときの$\theta$の値，および$V$の最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　$x$座標と$y$座標がともに有理数である$xy$平面上の点を有理点と呼ぶ．原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上の$2$つの有理点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に対し，線分$\mathrm{OA}$と線分$\mathrm{OB}$のなす角を$\theta$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$\sin \theta$と$\cos \theta$はともに有理数であることを示せ．

問２　正の整数$n$に対して$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{n}}$となるならば，$n=1$であることを示せ．

【４】　$n$は$3$以上の整数とし，$r$は正の整数とする．周の長さが$L$の正$n$角形の周および内部からなる平面図形を$P_n$とし，その面積を$A_n$とする．また，$P_n$からの距離が$r$以下である点の全体が作る平面図形を$Q_n$とする．（$Q_n$は$P_n$を含むことに注意せよ．）$Q_n$の周の長さを$L_n\text{，}$面積を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

問１　$A_n$を$L\text{，}n$を用いて表せ．

問２　$L_n$と$S_n$を$L\text{，}{A}_n\text{，}r$を用いて表せ．

問３　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{{(L_n)}^2}}$を求めよ．

【２】　$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$をとる．原点$\mathrm{O}$を中心とする角$\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の回転移動により$\mathrm{A}$が移される点を$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{B}$が移される点を$\mathrm{D}$とする．また，$▵\mathrm{OCD}$を$x$軸の周りに$1$回転させることにより得られる回転体の体積を$V$とする．次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{C}$および$\mathrm{D}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

問２　$V$を$\theta$を用いて表せ．

問３　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$V$の最大値とそのときの$\theta$の値，および$V$の最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に対し，線分$\mathrm{OA}$と線分$\mathrm{OB}$のなす角を$\theta$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標，$y$座標がすべて有理数のとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$はともに有理数であることを示せ．

問２　正の整数$n$と整数$m$に対して$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{n}}$かつ$\cos \theta ={\displaystyle \frac{m}{n}}$となるならば，$n=1$かつ$m=0$であることを示せ．