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2013 大阪府立大学 前期

知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科・環境システム・自然科学学類

易□ 並□ 難□

2013年大阪府立大理系【1】の図

【1】 スペードの A 2 3 4 5 6 6 枚と,ハートの A 2 3 4 5 6 6 枚の合計 12 枚のトランプのカードから 6 枚を選び,右図の正三角形の辺上の㋐㋑㋒㋓㋔㋕の位置に 1 枚ずつ置く.正三角形の各辺にはそれぞれ 3 枚のカードが置かれるが,このとき,スペードのカードが 3 枚並ぶ辺の数を n とする.以下の問いに答えよ.

(1)  n=3 である場合の数を求めよ.

(2)  n=2 である場合の数を求めよ.

(3)  n=1 である場合の数を求めよ.

2013 大阪府立大学 前期

知識情報システム・環境システム・マネジメント・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科学類

易□ 並□ 難□

【2】 次の式で定められる数列 { an } について,以下の問いに答えよ.

a1= 5 an +1= a n2 +8 an n=1 2 3

(1) すべての自然数 n に対して an> 4 が成り立つことを示せ.

(2) すべての自然数 n に対して an+1 <a n が成り立つことを示せ.

(3) すべての自然数 n に対して an-4 12n -1 が成り立つことを示せ.

2013 大阪府立大学 前期

知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科学類

易□ 並□ 難□

【3】  a b は実数の定数で | a| <| b| をみたすとする.行列 A

A= 13 ( a+2 b-2 a+2b -a+ b2a +b )

によって定めるとき,以下の問いに答えよ.

(1)  x0 ( 21 )+ y0 ( -1 1) =( 213 ) をみたす x0 y0 を求めよ.

(2)  A( 2 1 ) A ( -1 1 ) を求めよ.

(3)  n を自然数とする. xn ( 2 1) +yn ( -1 1 )= An ( 2 13 ) をみたす xn yn を, a b n を用いて表せ.

(4) 数列 { pn } { qn } ( pn qn )= An ( 213 ) によって定めるとき, limn qn pn を求めよ.

2013 大阪府立大学 前期

環境システム・マネジメント学類

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の点 P (0 ,-1) を中心とする半径 2 の円を C とする. C 上に点 Q ( 0,1 ) をとる.点 R を, C 上の点で QPR =120 ° をみたし, R x 座標は負であるようにとる. Q R を両端として,中心角が 120 ° である C の弧を A とする.さらに, a を実数の定数として,直線 y = 13 x+a l とするとき,以下の問いに答えよ.

(1) 点 R の座標を求めよ.

(2)  A l の共有点の個数を求めよ.

(3)  A l が相異なる 2 つの共有点をもつとき, A l で囲まれた部分の面積を S (a ) とする. S( a) が最大になるときの a の値と,そのときの S (a ) の値を求めよ.

2013 大阪府立大学 前期

知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・自然科学類

易□ 並□ 難□

【4】  2 次関数 y =2 x2- 2 4 のグラフを C とする.以下の問いに答えよ.

(1) 相異なる実数 s t に対し, C 上の点 ( s,2 s2 - 24 ) (t ,2 t2- 2 4 ) における C の法線をそれぞれ ls l t で表す. ls l t の交点の座標を求めよ.ただし,曲線 C 上の点 P における法線とは, P を通り, P における C の接線と垂直に交わる直線のことである.

(2)  t を固定して s t に近づけるとき,(1)で求めた交点の x 座標と y 座標が近づく値をそれぞれ f (t ) g (t ) で表す.このとき, f( t) g (t ) を求めよ.

(3) (2)で求めた f (t ) g( t) を,実数全体で定義された t の関数とみなして,

x=f (t ) y=g (t)

によって媒介変数表示される曲線を D とする.このとき, C D によって囲まれた部分の面積を求めよ.

2013 大阪府立大学 前期

環境システム・マネジメント学類

易□ 並□ 難□

【4】 以下の問いに答えよ.

(1)  a b を実数の定数とする. a>0 のとき,方程式 2 x3 -3a x2 =c の相異なる実数解の個数を求めよ.

(2)  3 次関数 y =x3 -3x のグラフを G とする. x 座標が正である座標平面上の点 P ( a,b ) を通る G の接線が 3 本存在するための, a b の条件を求めよ.

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