2013 大阪府立大学 中期

Mathematics

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2013 大阪府立大学 中期

工学部

配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 平面上に三角形 OAB があり, OA=3 OB=3 AOB=30 ° であるとする. OA =a OB =b とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)  AOB の二等分線と辺 AB の交点を N とする.ベクトル ON a b で表せ.

(2) 点 O から直線 AB に下ろした垂線と直線 AB との交点を H とする.ベクトル OH a b で表せ.

((1),(2)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2013 大阪府立大学 中期

工学部

配点40点

易□ 並□ 難□

【2】 行列 ( -2 14 -2 ) が表す移動により,座標平面上の点 P は点 Q に移るとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 点 P が座標平面全体の上を動くとき,点 Q は図形 F 1 全体の上を動くという.図形 F 1 を表す方程式を求めよ.

(2)  k を実数とする.点 P が直線 y =kx +1 全体の上を動くとき,点 Q は図形 F 2 全体の上を動くという.図形 F 2 を求めよ.

((1),(2)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2013 大阪府立大学 中期

工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】  2 つの曲線 C1:y =logx および C2:y =ax を考える.ただし, a は正の定数である.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 曲線 C 1 上の点 ( t,log t) における接線 l 1 の方程式,および曲線 C 2 上の点 ( s,a s) における接線 l 2 の方程式を求めよ.ただし, t>0 s>0 である.

(2) 曲線 C 1 と曲線 C 2 の両方に接する直線が存在しないための a の値の範囲を求めよ.

((1)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2013 大阪府立大学 中期

工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】 関数 fn (x ) n=1 2

f1 (x) =x

fn (x) =x+ e2 01 f n-1 ( t) ex-t dt n= 2 3

によって定める.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  f2 (x ) を求めよ.

(2)  an= 01 fn (t) e- td t とおく. n2 のとき, an a n-1 で表せ.

(3)  fn (x ) を求めよ.

((1)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2013 大阪府立大学 中期

工学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【5】  g( x)= sin3 x とおき, 0<θ< π とする. x 2 次関数 y =h( x) のグラフは原点を頂点とし, h( θ)= g( θ) を満たすとする.このとき,曲線 y =g( x) 0x θ と直線 x =θ および x 軸で囲まれた図形の面積を G (θ ) とおく.また,曲線 y =h( x) と直線 x =θ および x 軸で囲まれた図形の面積を H (θ ) とおく.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  H( θ) を求めよ.

(2)  G( θ)= 13 (1 -cosθ )2 (2 +cosθ ) を証明せよ.

(3)  limθ +0 G (θ )H (θ ) を求めよ.