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2013-11561-0201
2013 大阪府立大学 中期
工学部
配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 平面上に三角形 OAB があり, OA=3 , OB=3 ,∠ AOB=30⁢ ° であるとする. OA→ =a→ , OB→ =b→ とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) ∠AOB の二等分線と辺 AB の交点を N とする.ベクトル ON → を a→, b→ で表せ.
(2) 点 O から直線 AB に下ろした垂線と直線 AB との交点を H とする.ベクトル OH → を a→ , b→ で表せ.
((1),(2)については計算の過程を記入しなくてよい.)
2013-11561-0202
【2】 行列 ( -2 14 -2 ) が表す移動により,座標平面上の点 P は点 Q に移るとする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 点 P が座標平面全体の上を動くとき,点 Q は図形 F 1 全体の上を動くという.図形 F 1 を表す方程式を求めよ.
(2) k を実数とする.点 P が直線 y =k⁢x +1 全体の上を動くとき,点 Q は図形 F 2 全体の上を動くという.図形 F 2 を求めよ.
2013-11561-0203
配点50点
【3】 2 つの曲線 C1:y =log⁡x および C2:y =a⁢x を考える.ただし, a は正の定数である.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 曲線 C 1 上の点 ( t,log⁡ t) における接線 l 1 の方程式,および曲線 C 2 上の点 ( s,a⁢ s) における接線 l 2 の方程式を求めよ.ただし, t>0 , s>0 である.
(2) 曲線 C 1 と曲線 C 2 の両方に接する直線が存在しないための a の値の範囲を求めよ.
((1)については計算の過程を記入しなくてよい.)
2013-11561-0204
【4】 関数 fn⁡ (x ) ( n=1 ,2 , ⋯) を
f1⁡ (x) =x ,
fn⁡ (x) =x+ e2⁢ ∫01 ⁡f n-1 ⁡( t)⁢ ex-t ⁢dt ( n= 2, 3 ,⋯ )
によって定める.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) f2⁡ (x ) を求めよ.
(2) an= ∫ 01⁡ fn⁡ (t) ⁢e- t⁢d t とおく. n≧2 のとき, an を a n-1 で表せ.
(3) fn⁡ (x ) を求めよ.
2013-11561-0205
配点60点
【5】 g⁡( x)= sin3⁡ x とおき, 0<θ< π とする. x の 2 次関数 y =h⁡( x) のグラフは原点を頂点とし, h⁡( θ)= g⁡( θ) を満たすとする.このとき,曲線 y =g⁡( x) ( 0≦x≦ θ ) と直線 x =θ および x 軸で囲まれた図形の面積を G ⁡(θ ) とおく.また,曲線 y =h⁡( x) と直線 x =θ および x 軸で囲まれた図形の面積を H ⁡(θ ) とおく.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) H⁡( θ) を求めよ.
(2) G⁡( θ)= 13 ⁢ (1 -cos⁡θ )2 ⁢(2 +cos⁡θ ) を証明せよ.
(3) limθ →+0 ⁡ G ⁡(θ )H ⁡(θ ) を求めよ.