2013　大阪府立大学　中期MathJax

(1)　$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

（(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　点$\mathrm{P}$が座標平面全体の上を動くとき，点$\mathrm{Q}$は図形$F_1$全体の上を動くという．図形$F_1$を表す方程式を求めよ．

(2)　$k$を実数とする．点$\mathrm{P}$が直線$y=kx+1$全体の上を動くとき，点$\mathrm{Q}$は図形$F_2$全体の上を動くという．図形$F_2$を求めよ．

（(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　曲線$C_1$上の点$(t,\log t)$における接線$l_1$の方程式，および曲線$C_2$上の点$(s,\sqrt{as})$における接線$l_2$の方程式を求めよ．ただし，$t>0\text{，}s>0$である．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の両方に接する直線が存在しないための$a$の値の範囲を求めよ．

（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$f_1(x)=x\text{，}$

$f_n(x)=x+{\displaystyle \frac{e}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_{n-1}(t)e^{x-t}dt\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f_2(x)$を求めよ．

(2)　$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(t)e^{-t}dt$とおく．$n\geqq 2$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$で表せ．

(3)　$f_n(x)$を求めよ．

（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　$H(\theta )$を求めよ．

(2)　$G(\theta )={\displaystyle \frac{1}{3}}{(1-\cos \theta )}^2(2+\cos \theta )$を証明せよ．

(3)　$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{G(\theta )}{H(\theta )}}$を求めよ．