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2013-11613-0201
2013 兵庫県立大学 中期
理学部
易□ 並□ 難□
【1】 ▵ABC は AB =AC となる二等辺三角形とする.辺 BC の中点を D , 点 D から辺 AB に下ろした垂線が辺 AB と交わる点を E , 線分 DE の中点を F とする.次の問いに答えよ.
(1) DA→ =a→ , DB→ =b → , | DA→ |=a , | DB→ |=b とするとき,ベクトル DE → を a→ , b → と a , b で表せ.
(2) AF⊥CE であることを示せ.
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【2】 f⁡( x)= log ⁡(1 +x) x ,g ⁡(x )= x 1+x -log⁡ (1+ x) とする.次の問いに答えよ.
(1) f′⁡ (x ) を求めよ.
(2) g⁡( x) の増減と極値を調べよ.
(3) 数列 { an } を an= (1+ 1n ) n ( n=1 , 2 ,⋯ ) と定める.任意の自然数 n に対して an< an+ 1 が成り立つことを示せ.
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【3】 次の問いに答えよ.
(1) 曲線 y =2⁢sin ⁡x ( 0≦x≦ π 2 ) と曲線 y =tan⁡x ( 0≦x< π 2 ) とで囲まれた図形の面積を求めよ.
(2) 2 つの曲線 y =2⁢cos ⁡x ( 0≦x≦ π 2 ) , y= 1cos⁡ x ( 0≦x< π 2 ) と y 軸とで囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.
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【4】 行列 A =( 0-1 23 ), P=( 1-1 -12 ) に対して B =P- 1⁢A ⁢P とおく.
(1) P-1 と B を求めよ.
(2) (1)の結果を利用して C2= A となる行列 C をすべて求めよ.
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【5】 n は 2 以上の整数とする. 1 から n までの数字が書かれたカードが 1 枚ずつ, 1 から n までの数字が書かれた箱が 1 箱ずつある.各箱にカードを 1 枚ずつ入れるとき,カードと箱の数字が一致するものがちょうど k 組できる入れ方の場合の数を d ⁡( n,k ) とする.次の問いに答えよ.
(1) d⁡( 2,0 ) と d ⁡(3 ,0) を求めよ.
(2) d⁡( 4,4 ), d⁡ (4, 3) ,d⁡ (4, 2) ,d⁡ (4, 1), d⁡( 4,0 ) を求めよ.
(3) d⁡( 5,0 ) を求めよ.