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2013 兵庫県立大学 中期

理学部

易□ 並□ 難□

【1】  ABC AB =AC となる二等辺三角形とする.辺 BC の中点を D D から辺 AB に下ろした垂線が辺 AB と交わる点を E 線分 DE の中点を F とする.次の問いに答えよ.

(1)  DA =a DB =b | DA |=a | DB |=b とするとき,ベクトル DE a b a b で表せ.

(2)  AFCE であることを示せ.

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【2】  f( x)= log (1 +x) x g (x )= x 1+x -log (1+ x) とする.次の問いに答えよ.

(1)  f (x ) を求めよ.

(2)  g( x) の増減と極値を調べよ.

(3) 数列 { an } an= (1+ 1n ) n n=1 2 と定める.任意の自然数 n に対して an< an+ 1 が成り立つことを示せ.

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【3】 次の問いに答えよ.

(1) 曲線 y =2sin x ( 0x π 2 ) と曲線 y =tanx ( 0x< π 2 ) とで囲まれた図形の面積を求めよ.

(2)  2 つの曲線 y =2cos x ( 0x π 2 ) y= 1cos x ( 0x< π 2 ) y 軸とで囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.

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【4】 行列 A =( 0-1 23 ) P=( 1-1 -12 ) に対して B =P- 1A P とおく.

(1)  P-1 B を求めよ.

(2) (1)の結果を利用して C2= A となる行列 C をすべて求めよ.

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【5】  n 2 以上の整数とする. 1 から n までの数字が書かれたカードが 1 枚ずつ, 1 から n までの数字が書かれた箱が 1 箱ずつある.各箱にカードを 1 枚ずつ入れるとき,カードと箱の数字が一致するものがちょうど k 組できる入れ方の場合の数を d ( n,k ) とする.次の問いに答えよ.

(1)  d( 2,0 ) d (3 ,0) を求めよ.

(2)  d( 4,4 ) d (4, 3) d (4, 2) d (4, 1) d( 4,0 ) を求めよ.

(3)  d( 5,0 ) を求めよ.

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