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2013-11621-0201
2013 奈良県立医科大学 後期医学部
医学科
易□ 並□ 難□
【1】 実数全体で定義された微分可能な関数 f ⁡( x) で,関係式
f′⁡ (x )=cos ⁡x+ ∫ -ππ t⁢ f⁡( t)⁢ dt
を満たし,かつ f ⁡(0 )=0 となるものを求めよ.
(ただし, f′⁡ (x ) は f ⁡(x ) の導関数を表す.)
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【2】 a ,b を整数とし, 2 行 2 列の行列 A を
A=( a1 -b0 )
とおく. xy 平面上のベクトルの列 { vn→ =( xn yn )} n=1 , 2 ,⋯ を次の漸化式により定義する.
v1 →= ( 1 -1 ), v n+1 →=A ⁢vn →+ v1 → ( n≧ 1) .
さらに 1 より大きいある整数 k に対して vk →= (0 0 ) が成り立つと仮定する.
(1) b=1 , または - 1 であることを証明せよ.
(2) limn →∞ | xn| =+∞ となることは起こり得ないことを証明せよ.
(3) もし b =-1 ならば a =0 であることを証明せよ.
(4) |a |<2 を証明せよ.
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【3】 p を 0 でない実数とする. xy 平面において,曲線 y =x3 +p⁢x +p の接線で点 ( 1,1 ) を通るものが,ちょうど 2 本存在すると仮定する.このとき,実数 p の値,および 2 本の接線の方程式を求めよ.
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新課程用
【4】(1) 1 より大きい正整数 p が素数ならば, p-1 以下の任意の正整数 i に対して,二項係数 Ci p は p の倍数であることを証明せよ.
(2) 1 より大きい正整数 p が素数ならば,任意の正整数 n に対して整数 Cp n ⁢p -n は p の倍数であることを証明せよ.
(3) 1 より大きい相違なる正整数 p , q をともに素数とし, k を正整数とする.このとき,整数 Cq k ⁢p⁢q -p が q の倍数であり,かつ整数 Cp k ⁢p⁢q -q が p の倍数であるための必要十分条件は,整数 k -1 が p ⁢q の倍数であることを証明せよ.
(4) 1 より大きい正整数 p が素数ならば, p 以上の任意の正整数 m に対して,整数 Cp m - [m⁢ p-1 ] は p の倍数であることを証明せよ.(ただし,実数 x に対して x を超えない最大の整数を [ x] で表す.)