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2013-11641-0101
2013 和歌山県立医科大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= { 2⁢x +1 (0≦ x< π2 ) 2⁢x +sin⁡x (x ≧ π2 )
と定め,関数 g ⁡(x ) を
g⁡x )=f ⁡(2 ⁢x) -2⁢f ⁡(x ) ( 0≦x≦ 2⁢π )
と定める.
(1) 関数 g ⁡(x ) の最大値と最小値,およびそれらをとる x の値を求めよ.
(2) 曲線 C :y=g ⁡(x ) の概形を描け.ただし,変曲点に留意しなくてよい.
(3) 区間 [ 0,2⁢π ] で,曲線 C と x 軸の間にある部分を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.
2013-11641-0102
【2】 実数 x , y に対して, x∨y は x と y の小さくない方を表し, x∧y は x と y の大きくない方を表すとする.
(1) (1 ∨2) ∧( 3∨4 ) および ( 1∧3 )∨ (2∧ 4) を求めよ.
(2) 実数 a , b ,c , d に対して,
(a ∨b) ∧(c ∨d) ≧(a ∧c) ∨(b ∧d)
が成り立つことを示せ.
(3) 実数 a , b ,c , d に対して,
(a ∨b) ∧(c ∨d) =(a ∧c) ∨(b ∧d)
が成り立つか.成り立つ場合は証明し,成り立たない場合は反例をあげよ.
2013-11641-0103
【3】 隣り合う辺の長さが a , b の長方形がある.その各辺の中点を順に結んで四角形をつくる.さらにその四角形の各辺の中点を順に結んで四角形をつくる.このような操作を無限に続ける.
(1) 最初の長方形も含めたこれらの四角形の周の長さの総和 S を求めよ.
(2) 関係 a +b=1 を満たしながら a , b が動くときの S の最小値を求めよ.
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【4】 2 次の正方行列について,以下の問いに答えよ.ただし, E=( 1 00 1 ) とする.
(1) 行列 S =( ab 0d ), T=( e fg h ) が, T⁢S =E を満たすならば, S⁢T= E となることを示せ.
(2) 行列 A =( ab cd ) (ただし, a≠0 )に対して,行列 B は B ⁢A=E を満たすとする.さらに, P=( 1 0 - ca 1 ), Q=( 1 0 ca 1 ) を考えて, M=P⁢ A ,N= B⁢Q とおく.
(ⅰ) N⁢M =E を示せ.
(ⅱ) M⁢N= E を示し, A⁢B =E となることを示せ.