2013　和歌山県立医科大学　前期MathJax

2013-11641-0101

2013　和歌山県立医科大学　前期

易□　並□　難□

【１】　関数 $f (x)$ を

$f (x) = {\begin{cases} 2 x + 1 & (0 ≦ x < \frac{π}{2}) \\ 2 x + \sin x & (x ≧ \frac{π}{2}) \end{cases}$

と定め，関数 $g (x)$ を

$g x) = f (2 x) - 2 f (x) （ 0 ≦ x ≦ 2 π ）$

と定める．

(1)　関数 $g (x)$ の最大値と最小値，およびそれらをとる $x$ の値を求めよ．

(2)　曲線 $C ： y = g (x)$ の概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．

(3)　区間 $[0, 2 π]$ で，曲線 $C$ と $x$ 軸の間にある部分を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ．

2013-11641-0102

2013　和歌山県立医科大学　前期

易□　並□　難□

【２】　実数 $x ， y$ に対して， $x \lor y$ は $x$ と $y$ の小さくない方を表し， $x \land y$ は $x$ と $y$ の大きくない方を表すとする．

(1)　 $(1 \lor 2) \land (3 \lor 4)$ および $(1 \land 3) \lor (2 \land 4)$ を求めよ．

(2)　実数 $a ， b ， c ， d$ に対して，

$(a \lor b) \land (c \lor d) ≧ (a \land c) \lor (b \land d)$

が成り立つことを示せ．

(3)　実数 $a ， b ， c ， d$ に対して，

$(a \lor b) \land (c \lor d) = (a \land c) \lor (b \land d)$

が成り立つか．成り立つ場合は証明し，成り立たない場合は反例をあげよ．

2013-11641-0103

2013　和歌山県立医科大学　前期

易□　並□　難□

【３】　隣り合う辺の長さが $a ， b$ の長方形がある．その各辺の中点を順に結んで四角形をつくる．さらにその四角形の各辺の中点を順に結んで四角形をつくる．このような操作を無限に続ける．

(1)　最初の長方形も含めたこれらの四角形の周の長さの総和 $S$ を求めよ．

(2)　関係 $a + b = 1$ を満たしながら $a ， b$ が動くときの $S$ の最小値を求めよ．

2013-11641-0104

2013　和歌山県立医科大学　前期

易□　並□　難□

【４】　 $2$ 次の正方行列について，以下の問いに答えよ．ただし， $E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ とする．

(1)　行列 $S = (\begin{matrix} a & b \\ 0 & d \end{matrix}) ， T = (\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix})$ が， $T S = E$ を満たすならば， $S T = E$ となることを示せ．

(2)　行列 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ （ただし， $a \neq 0$ ）に対して，行列 $B$ は $B A = E$ を満たすとする．さらに， $P = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - \frac{c}{a} & 1 \end{matrix}) ， Q = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ \frac{c}{a} & 1 \end{matrix})$ を考えて， $M = P A ， N = B Q$ とおく．

(ⅰ)　 $N M = E$ を示せ．

(ⅱ)　 $M N = E$ を示し， $A B = E$ となることを示せ．

2013 和歌山県立医科大学 前期MathJax

2013　和歌山県立医科大学　前期MathJax