2013　岡山県立大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$をいずれも正の数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x$を正の数とするとき，次の不等式を証明せよ．

$a^{x+1}+b^{x+1}\geqq a{b}^x+a^{x}b$

(2)　$n$を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．

${\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^n\leqq {\displaystyle \frac{a^n+b^n}{2}}$

(3)　$a+b\sqrt{2}=4$のとき，$a^4+4b^4$の最小値を求めよ．

【２】　放物線$C\text{：}y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$がある．ただし，$a<b$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$が囲む部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S={\displaystyle \frac{{(b-a)}^3}{6}}$であることを示せ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を固定する．放物線$C$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$に対して，放物線$C$と線分$\mathrm{AP}$が囲む部分の面積を$S_1\text{，}$放物線$C$と線分$\mathrm{BP}$が囲む部分の面積を$S_2$とする．$a<t<b$のとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

(3)　常に$S={\displaystyle \frac{9}{2}}$であるように，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が放物線$C$上を動く．このとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡の方程式を求めよ．

【３】〔１〕　${\displaystyle \sum _{k=1}^{2013}}{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \sum _{j=1}^k}j}}$を求めよ．

【３】〔２〕　実数$a\text{，}b$を係数とする$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が異なる$2$つの虚数解をもつ．$1$つの虚数解を$\alpha$とすると，他の解は$2\alpha -4+3i$と表すことができる．このとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【３】〔３〕　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が

$x=\cos 2t\text{，}y=\sin t$

で表されるとき，点$\mathrm{P}$の速さは

$v=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}^2}$

である．次の問いに答えよ．

(1)　$y^2$を$\cos t$で表せ．

(2)　$v$の最大値を求めよ．

【４】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_2^3}{\displaystyle \frac{x^2+2}{x-1}}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^3}{e}^{\sqrt{x}}dx$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}{\displaystyle \frac{\log \cos x}{{\cos }^{2}x}}dx$