2013　岡山県立大学　中期MathJax

【１】〔１〕　$▵\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に対する辺の長さを，それぞれ，$a\text{，}b\text{，}c$とし，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ，$A\text{，}B\text{，}C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}$が成り立つことを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{a}{\cos A}}={\displaystyle \frac{b}{\cos B}}={\displaystyle \frac{c}{\cos C}}$が成立しているとき，$▵\mathrm{ABC}$はどんな三角形か．

【１】〔２〕　$6\geqq a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq 1$を満たす整数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を成分とする行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で逆行列をもたないものはいくつあるか．

【２】　$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 4\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${(A-3E)}^2=O$であることを示せ．

(2)　$n$を自然数とするとき，$A^n=n{3}^{n-1}A-(n-1)3^{n}E$であることを示せ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が次の関係を満たしている．

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}A\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，一般項$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

【３】　微分可能な関数$f(x)$が，次の関係を満足している．

$f(x)=1+x^2+{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}f(x-t)dt$

　以下の問いに答えよ．

(1)　$f(0)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}f(x-t)dt=e^{-x}{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{t}f(t)dt$が成り立つことを示せ．

(3)　$f(x)$の導関数$f\prime (x)$を求めよ．

(4)　$f(x)$を求めよ．

【４】　座標平面上の$2$つの曲線$C_1\text{：}y=\log \sqrt{x+1}\text{，}{C}_2\text{：}y={\displaystyle \frac{x}{x+2}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$のとき，$\log \sqrt{x+1}\geqq {\displaystyle \frac{x}{x+2}}$が成り立つことを示せ．

(2)　曲線$C_1$上の点$\mathrm{P}$における接線が点$(-1,0)$を通るとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた点$\mathrm{P}$について，点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$C_1$および曲線$C_2$とで囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．