2013　尾道市立大学　後期MathJax

【１】　正の整数の全体からなる集合を$\mathrm{U}$で表す．$\mathrm{A}$を$720$の正の約数からなる$\mathrm{U}$の部分集合とし，$\mathrm{B}$を$756$の正の約数からなる$\mathrm{U}$の部分集合とする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　集合$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の要素の個数をおのおの求めなさい．

(2)　共通部分$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$の要素の個数を求めなさい．

(3)　和集合$\mathrm{A}\cup \mathrm{B}$の要素の個数を求めなさい．

(4)　集合$\mathrm{A}\cap \bar{\mathrm{B}}$の要素の個数とその総和を求めなさい．ただし$\bar{\mathrm{B}}$は$\mathrm{U}$における$\mathrm{B}$の補集合を表わす．

【２】　$x$についての$2$次方程式

$(x-a)(ax+a+1)=(x-a-1)\{(a+1)x+a+2\}+a$

の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，それぞれ次の問いに答えなさい．ただし$a$は定数とする．

(1)　$x=-1$が上の$2$次方程式の解の$1$つであるとき，他の解および$a$の値を求めなさい．

(2)　${\alpha }^2+{\beta }^2$の値を最小とする$a$の値および解$\alpha \text{，}\beta$の値を求めなさい．

(3)　$(2a+1)(2\beta +1)$の値を求めなさい．

(4)　$\alpha$と$\beta$がともに整数であるとき，$a$の値および解$\alpha \text{，}\beta$の値を求めなさい．

【３】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$とする．関数$y=f(x)$のグラフは，点$(2,1)$に関して対称であるとする．またこの関数は$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値をとり$\beta -\alpha =2\sqrt{3}$であるとする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2\text{，}y$軸方向に$-1$だけ平行移動したグラフの関数を求めなさい．

(2)　定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めなさい．

(3)　(2)で求めた関数$y=f(x)$の極大値および極小値を求めなさい．