2013　広島市立大学　前期MathJax

【１】

問１　次の関数の導関数を求めよ．

(1)　$y=\sqrt{2-x^2}$

(2)　$y=x^2\cos (\sqrt{2}x)$

(3)　$y={\displaystyle \frac{e^x-2}{e^x+2}}$

【１】

問２　次の不定積分，定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x^2}{2-x}}dx$

(2)　${\displaystyle \int }\sqrt[3]{x^5+x^3}dx$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}(1-x)\cos (\pi x)dx$

【２】　$p\text{，}q$を実数の定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2+px+q$について，以下の問いに答えよ．

問１　$f(a)=a$を満たす実数$a$が存在するための$p\text{，}q$についての必要十分条件を求めよ．

問２　$f(a)=b\text{，}f(b)=a$を満たす異なる実数$a\text{，}b$が存在することと，$p\text{，}q$が不等式${(p-1)}^2-4(q+1)>0$を満たすことは同値であることを証明せよ．

【３】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとする．線分$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問３　三角形$\mathrm{OAR}$の面積を求めよ．

【４】　曲線$y=e^{2x}$を$C$とする．$C$の接線で原点を通るものを$l_1$とし，$C$と$l_1$の接点$\mathrm{P}$における$C$の法線を$l_2$とする．以下の問いに答えよ．

問１　直線$l_1$の方程式，および点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

問２　直線$l_2$の方程式，および直線$l_2$と$y$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

問３(1)　部分積分法を用いて不定積分${\displaystyle \int }\log xdx\text{，}{\displaystyle \int }{(\log x)}^{2}dx$を求めよ．

(2)　曲線$C\text{，}$直線$l_2$および$y$軸で囲まれる領域を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．