2013　広島市立大学　後期MathJax

【１】

問１　次の関数の導関数を求めよ．

$y=2^{x\cos x}$

【１】

問２　関数$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求め，この結果を用いて定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}dx$を求めよ．

【１】

問３　次の不定積分，定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{1-\sqrt{x}}}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-3x}dx$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\cos x-\cos 2x|dx$

【２】問１　次の問いに答えよ．

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\tan }^{n}x$を調べよ．

(2)　関数$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\tan }^{n+1}x}{1+{\tan }^{n}x}}$のグラフを描け．ただし$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}x\ne -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする，

【２】問２　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換は，点$(1,2)$と点$(2,-1)$を互いに他方に移すとする．

(1)　$A$を求めよ．

(2)　この$1$次変換によって自分自身に移される点をすべて求め，これを$xy$平面に図示せよ．

(3)　$A^{2n+1}=E$となる自然数$n$は存在しないことを示せ．ただし$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

【３】　$\mathrm{A}$グループは$3$人，$\mathrm{B}$グループは$3$人，$\mathrm{C}$グループは$4$人からなり，どの人も複数のグループには属していないとする．これら合計$10$人の中から$7$人を選ぶ．以下の問いに答えよ．

問１　各グループから少なくとも$1$人が選ばれる選び方は何通りあるか．

問２　各グループから少なくとも$2$人が選ばれる選び方は何通りあるか．

問３　$\mathrm{A}$グループから少なくとも$2$人が選ばれる選び方は何通りあるか．

【４】　関数$f(x)=-x+\sqrt{9-x^2}$について，以下の問いに答えよ．

問１　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

問２　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値をとるときの$x$の値，最小値をとるときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

問３　問２で求めた最大値，最小値をとるときの$x$の値をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とする．定積分${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}f(x)dx$の値を求めよ．