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2013 高知工科大学 後期

マネジメント学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(1)  a>0 のとき, a3 ×a 23× a7 6 を簡単にせよ.

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マネジメント学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問に答えよ.

(2) 座標平面上の 2 A ( 3,3 ) B (7 ,1) に対して,線分 AB の垂直 2 等分線の方程式を求めよ.

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マネジメント学部

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【1】 次の各問に答えよ.

(3)  log2 156 +log4 2 53 +log8 23 を簡単にせよ.

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マネジメント学部

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【1】 次の各問に答えよ.

(4)  | a |=3 | b | =2 | a -b |= 19 のとき, |a + b | の値を求めよ.

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マネジメント学部

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【2】 座標平面上に 3 A ( 3,6 ) B (1 ,2) C ( -2,1 ) がある.次の各問に答えよ.

(1) 線分 AB BC CA の長さを求めよ.

(2)  ABC の大きさを求めよ.

(3)  ABC の外接円の半径の長さ R を求めよ.

(4)  ABC の外接円の中心を点 D とする. CDA の大きさを求めよ.

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マネジメント学部

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【3】  a を定数とする. 3 次方程式 x 3-5 x2+ (a+ 6) x-2 a=0 が異なる 3 つの実数解をもつとき,次の各問に答えよ.

(1)  x=2 は解であることを示せ.

(2)  a のとりうる値の範囲を求めよ.

(3) 異なる 3 つの実数解が等差数列となるような a の値を求めよ.

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マネジメント学部

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【4】  a を定数とする.放物線 y =x2 +ax +1 x 軸と 2 個の共有点をもたないとき,次の各問に答えよ.

(1)  a のとりうる値の範囲を求めよ.

(2)  2 つの放物線 y =-x2 +4 x+1 y =x2 +ax +1 で囲まれた図形の面積 S a で表せ.

(3) (2)で求めた面積 S の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの a の値を求めよ.

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システム工,環境理工,情報学群

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【1】 次の各問に答えよ.

(1)  log2 96- log2 27+ log4 48 を簡単にせよ.

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システム工,環境理工,情報学群

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【1】 次の各問に答えよ.

(2) 男子 7 人女子 3 人が一列に並ぶとき,両端が男子で,女子どうしが隣り合わない並び方は何通りあるか.

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システム工,環境理工,情報学群

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【1】 次の各問に答えよ.

(3)  limx 1 a x+b x- 1= 3 であるとき,定数 a b の値を求めよ.

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システム工,環境理工,情報学群

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【1】 次の各問に答えよ.

(4) 定積分

-π6 π3 11+cos 2x dx

の値を求めよ.

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システム工,環境理工,情報学群

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【2】 次の各問に答えよ.

(1)  a b を定数とする. x が実数全体を動くとき, 2 次式

( x-a) 2+ (x -b) 2

の値を最小にする x a b を用いて表せ.

(2) 座標平面上の 2 A ( x1, y1 ) B ( x2, y2 ) に対し,距離の 2 乗の和 AP2+ BP2 を最小にする点 P の座標 ( x,y ) x1 y 1 x 2 y2 を用いて表せ.

(3) 座標平面上の 3 A ( x1, y1 ) B ( x2, y2 ) C (x 3,y 3) に対し,距離の 2 乗の和 AP2+ BP2+ CP2 を最小にする点 P の座標 ( x,y ) x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y3 を用いて表せ.

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システム工,環境理工,情報学群

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【3】 実数全体で定義され x =0 で微分可能な関数 f (x ) は, f (0) =-3 かつ任意の実数 x y に対して

f( x+y) =f( x)+ f( y)+ x2 y-2 xy+ xy2 -9

を満たす.次の各問に答えよ.

(1)  f( 0) の値を求めよ.

(2) 関数 f (x ) がすべての実数 x について微分可能であることを示し, f (x ) を求めよ.

(3) 曲線 y =f (x ) x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

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システム工,環境理工,情報学群

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【4】  2 次の正方行列 A n n=1 2 3

A1 =( 21 0 1) A 2=( 7 30 5 )

An+ 2- (5 1 05 ) An+ 1+3 ( 21 02 ) An =O

を満たす.ただし O は零行列である.次の各問に答えよ.

(1)  B=( 2 1 02 ) とおくとき,すべての自然数 n について

Bn= ( 2nn 2n -1 02 n )

が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ.

(2)  An+ 1-3 An を求めよ.また, An +1- BAn を求めよ.

(3)  An を求めよ.

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