2013　北九州市立大学　前期MathJax

【１】　初項$a_1=0\text{，}$漸化式$a_{n+1}=a_n+2n-15$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．また，数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$a_n>0$を満たす最小の$n$を求めよ．

(3)　数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$S_n>a_n$を満たす最小の$n$を求めよ．

(5)　数列$\{T_n\}$の一般項を$T_n=S_n-n\cdot a_n$によって定める．$T_n$が，ある数列$\{b_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和となるとする．その数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　曲線$C\text{：}y=|x(x-2)|$と直線$l\text{：}y=kx$（$k$は定数）が原点$\mathrm{O}$以外に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わっている．ただし，点$\mathrm{B}$の$x$座標は点$\mathrm{A}$の$x$座標より大きいとする．また，点$\mathrm{B}$を通り，点$\mathrm{B}$とも原点$\mathrm{O}$とも異なる点$\mathrm{E}$において曲線$C$と接する直線を$m$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　定数$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　直線$m$と$y$軸との交点を$\mathrm{F}$とする．三角形$\mathrm{FOE}$は曲線$C$によって二つの図形に分割されている．それらの二つの図形の面積の比を求めよ．

(3)　$k=1$のとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$は一辺の長さが$3$の正三角形であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}\text{，}\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(2)　$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．

(3)　$\sin \angle \mathrm{AFB}$を求めよ．

(4)　$\mathrm{BF}$の長さを求めよ．

【４】　ひとつのさいころを$3$回続けて投げて，出た目を順に$X\text{，}Y\text{，}Z$とする．また，$A={\displaystyle \frac{Y}{X}}\text{，}B={\displaystyle \frac{X}{Y}}\text{，}C={\displaystyle \frac{Y}{Z}}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$A$のとりうる値のなかで，その値をとる確率がもっとも大きくなるような$A$の値を求めよ．

(2)　$A$の期待値を求めよ．

(3)　$A$と$B$の値がいずれも$2$以下である確率を求めよ．

(4)　$B$と$C$の値がいずれも$1$未満である確率を求めよ．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　$\sqrt{6+4\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とすると，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}{a}^2-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}=\boxed{\text{イ}}$となる．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　$2$次関数$y=3x^2-6x+a+6\text{（}0\leqq x\leqq 3\text{）}$の最小値が$5$となるような定数$a$の値は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，このとき最大値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$の$6$個の数字から異なる$3$個の数字を取り出して並べ，$3$桁の整数を作るとき，整数は全部で$\boxed{\text{オ}}$個，偶数は全部で$\boxed{\text{カ}}$個となる．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=7\text{，}\mathrm{DA}=3$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とするとき，$\cos \theta$は$\boxed{\text{キ}}\text{，}$四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{コ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　赤いカード$4$枚，青いカード$3$枚，合計$7$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚とも赤いカードとなる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，赤いカードを$1$点，青いカードを$5$点とするとき，取り出した$2$枚のカードの合計点の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ト}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　$i$を虚数単位とする．$x=1+i$および$y=1-i$のとき，$x^2+5xy+4y^2$の値は実部が$\boxed{\text{サ}}\text{，}$虚部が$\boxed{\text{シ}}$となる．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ト}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　$2$点$(-1,0)\text{，}(3,2)$を通る半径が$\sqrt{10}$の円は，中心の座標が$(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})$のものと$(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})$のものがある．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ト}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　$\alpha$と$\beta$が鋭角で，$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}\sin \beta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，$\sin (\alpha +\beta )$の値は$\boxed{\text{チ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ト}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　方程式${\log }_{2}x\cdot {\log }_2{\displaystyle \frac{x}{2}}=12$の解は，$x=\boxed{\text{ツ}}$と$x=\boxed{\text{テ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{サ}}\text{〜}\boxed{\text{ト}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n\cdot 2^{n+1}$で表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$\boxed{\text{ト}}$となる．

【３】　図のような中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$r$の球形の一部を切り取った容器に，容器上端まで水を満たす．この容器を，点$\mathrm{O}$を中心としてゆっくりと角度$\theta$傾けたときに，容器の中に残っている水の体積を$V$とする．以下の問いに答えよ．答えを導く過程も記すこと．

(1)　この容器の容積を求めよ．

(2)　角度${\theta }_e$傾けたときにすべての水がこぼれ，容器がちょうど空になったとする．${\theta }_e$の値を求めよ．

(3)　$0\leqq \theta \leqq {\theta }_e$のとき，$V$を$\theta$の関数$f(\theta )$として表せ．

(4)　$0\leqq \theta \leqq {\theta }_e$のとき，$f\theta )$の第$1$次導関数および第$2$次導関数を求めよ．

(5)　$0\leqq \theta \leqq {\theta }_e$のとき，関数$V=f(\theta )$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，それらがわかるようにグラフをかけ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列である．答えを導く過程も示すこと．

(1)　行列$A$に対して，等式$A^2-5A+5E=O$が成り立つことを示せ．

(2)　行列$B$について，$B=A^4-3A^3-3A^2+2A+9E$のとき，行列$B$を求めよ．

(3)　行列$A$の表す$1$次変換によって，直線$2x-y+1=0$上の点を移す．このとき，像を表す図形の方程式を求めよ．