2013　北九州市立大学　後期国際環境工学部MathJax

【3-A】　次の問いの空欄に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　$2$つの不等式

$|x-8|<3\text{，}|4-x|<k$

をともに満たす実数$x$が存在するような$k$の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．

【3-A】　次の問いの空欄に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　$2$次関数$y=k{x}^2-2kx+2k^2+2k-4$の最小値が$2$のとき，定数$k$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【3-A】　次の問いの空欄に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　$3$辺の長さが$\mathrm{BC}=7\text{，}\mathrm{AC}=6\text{，}\mathrm{AB}=5$である$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{ABC}$の内接円の面積を$S_2$とするとき，面積比${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【3-A】　次の問いの空欄に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　${(a+b+c)}^6$の展開式における$a^2{b}^{3}c$の係数は$\boxed{\text{エ}}$である．

【3-A】　次の問いの空欄に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　$1$組のトランプのスペードカード$13$枚から$3$枚を同時に引き，絵札$1$枚につき$100$円受け取るゲームがある．$1$回のゲームで受け取る金額の期待値は$\boxed{\text{オ}}$円である．

【3-B】　$▵\mathrm{ABC}$に対し，$2\overrightarrow{\mathrm{PA}}+3\overrightarrow{\mathrm{PB}}+5\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$で定められる点$\mathrm{P}$を考える．次の問いに答えよ．答えを導く過程を記すこと．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{PAB}\text{，}▵\mathrm{PBC}\text{，}▵\mathrm{PCA}$の面積の比$▵\mathrm{PAB}:▵\mathrm{PBC}:▵\mathrm{PCA}$を求めよ．

【3-C】　$b$と$c$を実数の定数とする．関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x(-3x+5)& \text{（}-2\leqq x<0\text{）}\\ e^{-2x}(x^2+bx+c)& \text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}\end{array}$

について，次の問いに答えよ．答えを導く過程を記すこと．

(1)　$x=-1$における微分係数$f^{\prime }(-1)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$が$x=0$で微分可能となるように$b$と$c$の値を定めよ．

(3)　$b={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}c=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^2}|f(x)|dx$を求めよ．

(4)　$b=-6\text{，}c=3$のとき，$f(x)$の$-2\leqq x\leqq 2$における最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．