2013　福岡女子大学　前期MathJax

【１】　箱の中に，赤，青，黄，白，黒の$5$種類の色のボールがそれぞれ$2$個ずつ入っており，全部で$10$個ある．$10$個のボールには異なる番号がつけられている．以下の問に答えなさい．ただし，すべて整数値で解答しなさい．

(1)　同時に$3$個取り出す場合の数を求めなさい．

(2)　同時に$3$個取り出すとき，赤のボールが含まれる場合の数を求めなさい．

【２】　$m>0\text{，}n>0$とする．座標平面の$x$軸上に原点$\mathrm{O}$をはさんで左側に点$\mathrm{B}\text{，}$右側に点$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{BC}$の長さを$c$とする．ただし，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$は共に点$\mathrm{O}$と異なるものとする．以下の問に答えなさい．

(1)　原点$\mathrm{O}$が線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分するとき，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$x$座標を$m\text{，}n\text{，}c$を用いて表しなさい．

(2)　座標平面上の任意の点$\mathrm{A}(a,b)$は，次の関係式を満たすことを示しなさい．

${\displaystyle \frac{n}{m+n}}{\mathrm{AB}}^2+{\displaystyle \frac{m}{m+n}}{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AO}}^2+{\displaystyle \frac{n}{m}}{\mathrm{BO}}^2$

【３】　関数$f(x)$に対して，

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt=-x^3+a{x}^2+bx+c$

とする．$a\text{，}b\text{，}c$は定数である．以下の問に答えなさい．

(1)　$f(x)$は，$x=p$で最大値$q$をとる．$p\text{，}q$を$a\text{，}b$を用いて表しなさい．

(2)　$P(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$とおき，$F(3)=0\text{，}f(2)=0$とする．$F(0)=0$となることに注意して，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めなさい．

(3)　(2)の条件の下で，方程式$f(x)=0$のもう$1$つの解を求めなさい．

【４】　以下の問に答えなさい．

(1)　$\sin \theta +\cos \theta =t$とするとき，$\sin \theta \cos \cos \theta$を$t$の式で表しなさい．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，

$\sqrt{2}(\sin \theta +\cos \theta )=4\sin \theta \cos \theta$

となる$\theta$の値をすべて求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$\log x$の不定積分，および${(\log x)}^2$の不定積分を求めなさい．

(2)　曲線$y=\log x$上の点$(e^2,2)$における接線$l$の方程式を求めなさい．

(3)　曲線$y=\log x$と(2)で求めた接線$l\text{，}$および$x$軸で囲まれた図形を$S$とする．$S$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めなさい．

【４】　$a\ne c$とする．座標平面上で，焦点$\mathrm{F}(0,c)$と準線$y=a$とから等距離にある点$(x,y)$の軌跡は放物線であり，その式を$x^2=4p(y-q)$とおくとき，$q={\displaystyle \frac{a+c}{2}}$となる．以下の問に答えなさい．

(1)　この放物線と直線$y=c$の交点は，焦点$\mathrm{F}$と準線$y=a$とから等距離にあることに着目して，$p$を$a$と$c$の式で表しなさい．

(2)　$a>c>b$とする．焦点$\mathrm{F}\text{，}$準線$y=a$の放物線を$L$で表し，焦点$\mathrm{F}\text{，}$準線$y=b$の放物線を$L^{\prime }$で表す．$L$と$L^{\prime }$の交点$\mathrm{T}$の$y$座標を$a\text{，}b$を用いて表しなさい．

(3)　(2)で求めた交点$\mathrm{T}$における$L$の接線と$L^{\prime }$の接線は，直交することを示しなさい．