2013　長崎県立大学　後期情報メディア学科MathJax

【２】　次の文章を読んで，後の問い（問１〜問４）に答えなさい．

　$2$分法とは，解を含む区間の中間点を求める操作を繰り返すことによって方程式の解を求める数値計算法である．ある関数$f(x)=0$となる解の近似値を求めるための手順を次の[ア]から[エ]に示す．

[ア]　はじめに，$f(x_1)$と$f(x_2)$が異符号となるような区間下限値$x_1$と区間上限値$x_2$を定め，それらを初期値とする．

[イ]　$x_1$と$x_2$の中間点$x_m$を求める．中間点$x_m$は，$x_m={\displaystyle \frac{(x_1+x_2)}{2}}$により求める．この例を図１に示す．

[ウ]　$f(x_m)$の符号が$f(x_1)$と同じであれば$x_m$を$x_1$とし，$f(x_2)$と同じであれば$x_m$を$x_2$とする．図１に適用した結果を図２に示す．

[エ]　上記[イ][ウ]の操作を繰り返すことにより中間点$x_m$は$f(x)=0$の解に近づいていく．$x_1$と$x_2$の距離$|x_2-x_1|$が，ある正の値$e$よりも小さくなったときに，$x_m$が解$x$に十分近づいたと判断して，そのときの$x_m$を解$x$の近似解とみなして処理を終える，

　以上により，$f(x)=0$の近似解$x_m$を求めることができる．

　これらの手順にしたがって，$y=x^2-2$の解のうち，大きい方の近似解を求める処理の流れを図３に示す．図中の$\leftarrow$は，右側の値を左側に代入することを意味する．また，$*$は乗算を意味する．

問１　$2$次方程式$x^2-2=0$において，解の公式を用いて求めたときに得られる解を$2$つ答えなさい（小数点以下第$3$位を四捨五入して第$2$位までを求めること）．

問２　先に示した手順[ア]と[イ]に対応する個所を．図３の処理の流れ$\text{①〜}\text{⑦}$の中から，それぞれ$1$つずつ選び番号で答えなさい．

問３　図３において，中間点$x_m$を求める処理を$2$回行ったのち，$3$回目を行うときの$x_1$と$x_2$の値を答えなさい（小数点以下第$2$位までを求めること）．

問４　$2$次方程式$x^2-2x-6=0$の小さい方の近似解を求める際には，図３を修正する必要がある．図３の$\text{①，}\text{③，}\text{⑥，}\text{⑦}$を修正する場合として，以下の問(1)〜(3)に答えなさい．なお，$e=0.3$とする．

(1)　図３の$\text{①}$における初期値$x_1$と$x_2$の与え方について，「小さい方の近似解を求めること」と「中間点$x_m$を求める処理の回数をできるだけ少なくすること」に留意して，次の選択肢(a)，(b)，(c)，(d)の中からもっとも適切なものを$1$つ選び記号で答えなさい．また，その理由について$150$字以内（句読点を含む）で説明しなさい．

• (a)　$x_1=-2x_2=-1$
• (b)　$x_1=-5x_2=0$
• (c)　$x_1=-1x_2=0$
• (d)　$x_1=3x_2=4$

(2)　図３の$\text{③，}\text{⑥，}\text{⑦}$はどのように修正すればよいか答えなさい．

(3)　(1)で適切な初期値を選び，(2)で適切な修正が行われた結果，中間点$x_m$を求める処理は何回になるか答えなさい．また，そのときに得られる近似解$x_m$の値を答えなさい（小数点以下第$3$位までを求めること）．