2013　東北学院大学　前期文系全学部MathJax

【１】　円$O$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2\sqrt{7}\text{，}\mathrm{BE}=4\text{，}\mathrm{DE}=3\text{，}\angle \mathrm{DEC}=60\mathrm{°}$

であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　線分$\mathrm{AE}\text{，}\mathrm{EC}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　辺$\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　円$O$の半径$R$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　放物線$y=a{x}^2+bx+c$が$3$点$(1,1)\text{，}(2,3)\text{，}(-1,1)$を通るとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$2$次関数$y=a{x}^2+4ax+b$が$-1\leqq x\leqq 2$において最大値$5\text{，}$最小値$1$をとるとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　不等式$3^{x+1}\leqq 11+4\times 3^{-x}$を解け．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$n$を$2$以上の整数とする．$n$の$n$乗が$n$桁の数となるような$n$の値をすべて求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}7=0.8451$とする．

【４】　$f(x)=\sin 2x+2\sin x-2\cos x+2\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$t=\sin x-\cos x$とするとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．

(ⅱ)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(ⅲ)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【５】　$7$個の数字$1\text{，}1\text{，}1\text{，}2\text{，}2\text{，}3\text{，}3$をすべて用いて$7$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　全部で何個できるか．

(ⅱ)　これらの整数を小さい順に並べるとき，$3211231$は何番目に現れるか．

【６】　$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}=a_n+8n+4\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　一般項$a_n$を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$を求めよ．