2013　東北学院大学　後期文,法,経済,経営,教養学部3月6日MathJax

【１】　$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフが$2$点$\mathrm{A}(5,0)\text{，}\mathrm{B}(0,-10)\text{，}$を通り，軸が直線$x=3$の放物線であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(ⅱ)　この放物線の頂点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　$▵\mathrm{PAB}$の面積を求めよ．

(ⅳ)　この放物線を$x$軸方向に$k\text{，}y$軸方向に$3k$平行移動するとき，原点$\mathrm{O}$を通るように定数$k$の値を定めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x^3+y^3-x^{2}y-x{y}^2$を因数分解せよ．

(ⅱ)　実数$x\text{，}y$が$x+y=1$を満たすとき，$x^3+y^3-2x^{2}y-2x{y}^2$の最小値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$は実数の定数とする．複素数$z=a+bi$が${\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{3+4i}{25}}$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(ⅱ)　$3$次方程式$x^3+p{x}^2+13x+q=0$が$z$を解にもつとき，実数の定数$p\text{，}q$の値を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の$3$次方程式の実数解を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，関数$y=\sin x+\sqrt{3}\cos x$の最大値と最小値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　$0\leqq x<2\pi$のとき，方程式${(\sin x+\sqrt{3}\cos x)}^2=2+\sqrt{3}$を満たす$x$の値を求めよ．

【５】　$3$個の箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．サイコロを$1$回投げ，$1$または$2$の目が出れば$\mathrm{A}$の箱に，$3$または$4$の目が出れば$\mathrm{B}$の箱に，$5$または$6$の目が出れば$\mathrm{C}$の箱にそれぞれ球を$1$個ずつ入れる．サイコロを$6$回投げるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$いずれか$1$つの箱に球が$6$個入っている確率を求めよ．

(ⅱ)　$2$個以上の球が入っている箱が$1$個だけである確率を求めよ．

(ⅲ)　$2$個以上の球が入っている箱の個数の期待値を求めよ．

【６】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AD}=\sqrt{17}\text{，}$$\mathrm{OA}=2$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(ⅱ)　$\left|\overrightarrow{b}\right|$と内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(ⅲ)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．