2013　学習院大学　法学部MathJax

【１】　不等式

${\displaystyle \frac{x^2-1}{x}}\leqq 1$

を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．

(1)　不等式

$3(a^2+b^2+c^2)\geqq {(a+b+c)}^2$

を証明せよ．また，等号が成り立つとき$a=b=c$であることを証明せよ．

(2)　不等式

$27(a^4+b^4+c^4)\geqq {(a+b+c)}^4$

を証明せよ．

【３】　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$はともに平面上の長さ$1$のベクトルで，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすとする．ただし，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$は内積を表す．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$の長さ$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|$を求めよ．

(2)　内積

$(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b})$

を最大にする長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．また，その最大値を求めよ．

【４】　$t$は正の実数とする．放物線$C:y=-x^2$の点$\mathrm{P}(t,-t^2)$を頂点とする放物線$y=3x^2+bx+c$を$D$とする．また，点$\mathrm{P}(t,-t^2)$における$C$の接線を$L$とする．

(1)　$b\text{，}c$を$t$で表せ．

(2)　$L$と$D$の交点を求めよ．

(3)　$C$と$D$の上側にあって$L$の下側にある部分の面積を求めよ．