2013　学習院大学　数学科推薦入試MathJax

2013　学習院大学　数学科特別入試

配点25点

易□　並□　難□

【１】　連立不等式

$0 ≦ x ≦ 1 ， \frac{1}{2} x ≦ y ≦ \frac{1}{2} x + 1$

の表す領域を $C$ とする．

(1)　条件「すべての $(x, y) \in C$ について $t ≦ x + y$ 」を満たす $t$ の範囲を求めよ．

(2)　条件「ある $(x, y) \in C$ が存在して $t ≦ x + y$ 」を満たす $t$ の範囲を求めよ．

(3)　条件「すべての $0 ≦ x ≦ 1$ に対し， $(x, y) \in C$ であるような $y$ が存在して $t ≦ x + y$ 」を満たす $t$ の範囲を求めよ．

(4)　条件「ある $0 ≦ x ≦ 1$ が存在して， $(x, y) \in C$ であるような任意の $y$ に対して $t ≦ x + y$ 」を満たす $t$ の範囲を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　 $2$ つの等式

$f^{'} (x) + \int_{0}^{1} f (t) d t = x^{2} + x ， f (0) = 0$

を同時に満たす関数 $f (x)$ を求めよ．ただし， $f^{'} (x)$ は $f (x)$ の導関数を表す．

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易□　並□　難□

【３】　実数 $p$ と $q$ により決まる放物線 $y = x^{2} + p x + q$ を $C$ とする．

(1)　 $a$ を定数とする．「 $C$ が点 $P (a, 0)$ を通る」という条件を満たしつつ， $p ， q$ が変化するとき， $C$ の頂点の描く曲線を求めよ．

(2)　「 $C$ が $x$ 軸上の部分 $- 1 ≦ x ≦ 1$ と共通点を持つ」という条件を満たしつつ， $p ， q$ が変化するとき， $C$ の頂点の存在する範囲を図示せよ．

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【４】　半径 $a$ の円 $A$ と半径 $b$ の円 $B$ の交点の $1$ つを $P$ とする． $P$ において，それら $2$ 円の接線が，図のように $60 °$ の角で交わるとき，線分 $AB$ の $2$ 円で切り取られる部分の長さ $c$ を $a ， b$ で表せ．

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