2013　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問の$\boxed{\text{(1)}}\text{〜}\boxed{\text{(49)}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

(1)　実数$x\text{，}y$に対して$(i^{30}+i^{65})(x+yi)=-2+6i$が成り立つ．ただし$i$は虚数単位とする．このとき，

(ⅰ)　$x=\boxed{\text{(1)}}\text{，}y=\boxed{\text{(2)}\text{(3)}}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{x+yi}{i}}+{\displaystyle \frac{x-yi}{x+yi}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}\text{(5)}}-\boxed{\text{(6)}\text{(7)}}i}{\boxed{\text{(8)}}}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{(1)}}\text{〜}\boxed{\text{(49)}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

(2)　$xy$平面上において，中心が直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$上にあり，$x$軸に接して，点$({\displaystyle \frac{12}{5}},{\displaystyle \frac{16}{5}})$を通る円がある．

(ⅰ)　この円の方程式は$x^2+y^2-\boxed{\text{(9)}}x-\boxed{\text{(10)}}y+\boxed{\text{(11)}\text{(12)}}=0$である．

(ⅱ)　この円の周および内部のすべての点$(x,y)$に対して$y\leqq -{\displaystyle \frac{3}{4}}x+a^2-a$が成り立つような実数$a$の値の範囲は$a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(13)}}-\sqrt{\boxed{\text{(14)}\text{(15)}}}}{\boxed{\text{(16)}}}}\text{，}a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}}+\sqrt{\boxed{\text{(18)}\text{(19)}}}}{\boxed{\text{(20)}}}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{(1)}}\text{〜}\boxed{\text{(49)}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

(3)　実数$x$は不等式${\left({\displaystyle \frac{1}{81}}\right)}^{x^2}>3^{21-20x}$を満たす．このとき，

(ⅰ)　$x$の値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(21)}}}{\boxed{\text{(22)}}}}<x<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(23)}}}{\boxed{\text{(24)}}}}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{x^{16}}{125}}=x^{16{\log }_{5}x}$を満たす$x$の値は${\boxed{\text{(25)}}}^{\frac{\boxed{\text{(26)}}}{\boxed{\text{(27)}}}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{(1)}}\text{〜}\boxed{\text{(49)}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

(4)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$\theta$は不等式$\sin 2\theta +\sqrt{2}\sin \theta +\sin (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$を満たす．このとき，

(ⅰ)　$\theta$の値の範囲は，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}}}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(30)}}}{\boxed{\text{(31)}}}}\pi \leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(32)}}}{\boxed{\text{(33)}}}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(34)}}}{\boxed{\text{(35)}}}}\pi \leqq \theta <\boxed{\text{(36)}}\pi$である．

(ⅱ)　$y=\sin \theta +\cos \theta$とおくとき，$y$の最小値は$\boxed{\text{(37)}}\sqrt{\boxed{\text{(38)}}}\text{，}$最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}}+\sqrt{\boxed{\text{(40)}}}}{\boxed{\text{(41)}}}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{(1)}}\text{〜}\boxed{\text{(49)}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

(5)　空間に$4$点$\mathrm{A}(2,1,3)\text{，}\mathrm{B}(-3,1,-5)\text{，}\mathrm{C}(4,2,1)\text{，}\mathrm{D}(8,5,2x-5)$があり，この$4$点は同じ平面上にある．$2$直線$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とおく．このとき，

(ⅰ)　$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(42)}\text{(43)}}}{\boxed{\text{(44)}}}}$である．

(ⅱ)　$▵\mathrm{ACE}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(45)}}\sqrt{\boxed{\text{(46)}\text{(47)}}}}{\boxed{\text{(48)}\text{(49)}}}}$である．

【２】　以下の問の$\boxed{\text{(50)}}\text{〜}\boxed{\text{(57)}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

　$\mathrm{A}$の箱には$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた球が各$1$個ずつ，計$n$個はいっており，$\mathrm{B}$の箱には$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた球が各$2$個ずつ，計$2n$個入っている．ただし，$n\geqq 3$の自然数とする．

　$\mathrm{A}$の箱から同時に球を$3$個取り出すとき，取り出した球の番号の最大値が$5$となる確率は${\displaystyle \frac{3}{28}}$である．$\mathrm{B}$の箱から同時に球を$3$個取り出すとき，取り出した球の番号の最大値を$X$とおく．このとき，

(1)　$n=\boxed{\text{(50)}}$である．

(2)　$X=4$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(51)}}}{\boxed{\text{(52)}\text{(53)}\text{(54)}}}}$である．

(3)　$X$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(55)}\text{(56)}}}{\boxed{\text{(57)}}}}$である．

【３】　以下の問の$\boxed{\text{(58)}}\text{〜}\boxed{\text{(72)}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

　$xy$平面上において，不等式$0\leqq y\leqq -x^2+n$を満たす格子点（$x$座標，$y$座標がともに整数である点）の個数を$a_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，

(1)　$a_3=\boxed{\text{(58)}\text{(59)}}\text{，}{a}_4=\boxed{\text{(60)}\text{(61)}}$である．

(2)　自然数$s$に対して$a_{s^2}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(62)}}}{\boxed{\text{(63)}}}}{s}^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(64)}}}{\boxed{\text{(65)}}}}s+\boxed{\text{(66)}}$と表すことができる．

(3)　自然数$t$に対して$a_{t^2}$と$a_{{(t+1)}^2}$が$a_{{(t+1)}^2}=a_{t^2}+16t+355$の関係式を満たすとき，$t=\boxed{\text{(67)}\text{(68)}}$であり，このときの$a_{t^2+5}$の値は$\boxed{\text{(69)}\text{(70)}\text{(71)}\text{(72)}}$である．

【４】　以下の問の$\boxed{\text{(73)}}\text{〜}\boxed{\text{(86)}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

　$xy$平面上に$2$つの関数$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフがある．$f(x)$は$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}(a{t}^2+btx+2x^2)dt$であり，$x={\displaystyle \frac{7}{2}}$において極小値$-{\displaystyle \frac{9}{2}}$をとる．$g(x)$は$g(x)=x^2-10x+c$である．ただし$a\text{，}b\text{，}c$は実数とする．

　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わり，この$2$つの関数のグラフで囲まれた図形の面積を$S_1$とする．また，直線$\mathrm{PQ}$と平行となるように$y=g(x)$の接線を引き，この接線と$2$つの関数のグラフとで囲まれた部分の面積の和を$S_2$とする．このとき，

(1)　$a=\boxed{\text{(73)}\text{(74)}}\text{，}b=\boxed{\text{(75)}\text{(76)}\text{(77)}}$である．

(2)　$c$の値の範囲は$c>\boxed{\text{(78)}\text{(79)}}$であり，直線$\mathrm{PQ}$と平行な$y=g(x)$の接線の方程式は$y=\boxed{\text{(80)}\text{(81)}}x+c-\boxed{\text{(82)}}$である．

(3)　$S_2={\displaystyle \frac{64\sqrt{2}-64}{3}}$であるとき$c=\boxed{\text{(83)}\text{(84)}}$であり，$S_1$と$S_2$の比は$S_1:S_2=(\boxed{\text{(85)}}+\sqrt{\boxed{\text{(86)}}}):1$である．