2013　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】　$0$と異なる実数$x\text{，}y\text{，}z$はつぎの連立方程式をみたす．

${\displaystyle \frac{1}{xy}}+{\displaystyle \frac{1}{yz}}+{\displaystyle \frac{1}{zx}}={\displaystyle \frac{1}{xy+yz+zx}}$

$2^{x+1}={\displaystyle \frac{5^{2y}}{{10}^{z+1}}}$

このとき

$x=\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}\text{，}y=\boxed{\text{(3)}\text{(4)}}\text{，}z=\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}$

である．

【２】　自然数$x\text{，}y\text{，}z$は$x<y<z$で

${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{y}}+{\displaystyle \frac{4}{z}}+{\displaystyle \frac{1}{xy}}+{\displaystyle \frac{1}{yz}}+{\displaystyle \frac{1}{zx}}+{\displaystyle \frac{1}{xyz}}=1$

をみたす．このような組$(x,y,z)$は複数あるが，$x+y+z$を最小にする組は

$(x,y,z)=(\boxed{\text{(7)}\text{(8)}},\boxed{\text{(9)}\text{(10)}},\boxed{\text{(11)}\text{(12)}})$

である．これを示すために，まず$x\text{，}y\text{，}z$を$x<y<z$をみたす変数と考え

$f(x,y,z)=xyz-xyz({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{y}}+{\displaystyle \frac{4}{z}}+{\displaystyle \frac{1}{xy}}+{\displaystyle \frac{1}{yz}}+{\displaystyle \frac{1}{yz}}+{\displaystyle \frac{1}{zx}}+{\displaystyle \frac{1}{xyz}})$

とおく．$g(x)=f(x,x+1,x+2)$とすれば

$g(x)=x^3-\boxed{\text{(13)}\text{(14)}}{x}^2-\boxed{\text{(15)}\text{(16)}}x-\boxed{\text{(17)}\text{(18)}}$

となる．自然数$x\text{，}y\text{，}z$が$x<y<z$および$f(x,y,z)=0$をみたすならば

$x+1\leqq y\text{，}x+2\leqq z$

より$g(x)\leqq 0$が成り立つ．$g(x)\leqq 0$をみたす自然数$x$の最大値は$\boxed{\text{(19)}\text{(20)}}$である．$x=2$の場合，$f(x,y,z)=0$をみたす自然数$y\text{，}z\text{（}x<y<z\text{）}$に対して$x+y+z$の最小値は$\boxed{\text{(21)}\text{(22)}}$となる．同様に$x=3\text{，}4\text{，}\cdots$の各場合に$f(x,y,z)=0$をみたす自然数$y\text{，}z\text{（}x<y<z\text{）}$に対して$x+y+z$の最小値を求める．それらの最小値のなかで最小のものを与える$x\text{，}y\text{，}z$が求める組である．

【３】(1)　$x^3--kx+1=0$（$k$は実数）は実数の重解とそれと異なる実数解をもつ．このとき

$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(23)}}}{\sqrt[3]{\boxed{\text{(24)}}}}}$

である．

(2)　曲線$C:y=x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}$を$x\ne 0$で考える．

　$x>0$の範囲において$y$座標が最小となる点$\mathrm{P}(x_0,y_0)$は

$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{\boxed{\text{(25)}}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(26)}}}{\sqrt[3]{\boxed{\text{(27)}}}}})$

である．

　点$\mathrm{Q}$を$C$上の点で$y$座標が$y_0$で$\mathrm{P}$と異なるもの，点$\mathrm{R}$を$C$が$x$軸と交わる点とする．このとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}\text{(29)}}}{\boxed{\text{(30)}\text{(31)}}}}$

である．

【４】

　ある大学は$7$月に七夕祭，$11$月に秋祭りと$2$回学園祭を行っている．あなたはその大学に属している学生であるとして，以下の問に答えよ．ただし$p\text{，}q\text{，}c$は実数値をとるものと考える．

(1)　あなたは友人といっしょに，焼きそばの屋台を七夕祭りに出店することを企画した．焼きそば$1$人前を$p$円としたときの売れ行きは

$q=600-p$（人前）（ただし$100\leqq p\leqq 600$）

で，また，焼きそばを作る諸経費の総額は$c=100q$円であるとする．売上$pq$円から諸経費を差し引いた残りを$\stackrel{\text{もう}}{\text{儲}}$けとすると，儲けを最大にするには焼きそば$1$人前を$\boxed{\text{(32)}\text{(33)}\text{(34)}}$円で売ればよい．また，そのときの儲けは$\boxed{\text{(35)}\text{(36)}\text{(37)}\text{(38)}\text{(39)}}$円となる．

(2)　次にあなたは，焼きそばの屋台を秋祭にも出店しようと考えている．焼きそば$1$人前を$p$円としたときの売れ行きは

$q=1200-2p$（人前）（ただし$100\leqq p\leqq 600$）

で，また，焼きそばを作る諸経費の総額$c$は

$c=\{\begin{array}{cc}100q& \text{（}0\leqq q\leqq 200\text{）}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}{q}^2-100q+20000& \text{（}q\geqq 200\text{）}\end{array}$

とする．

　このとき，儲けを最大にするには，焼きそば$1$人前を$\boxed{\text{(40)}\text{(41)}\text{(42)}}$円とすればよく，そのときの儲けは$\boxed{\text{(43)}\text{(44)}\text{(45)}\text{(46)}\text{(47)}\text{(48)}}$円となる．

(3)　焼きそばの屋台を七夕祭と秋祭の両方に出店する場合，焼きそばに同じ値段をつけなければならないとしたら，七夕祭と秋祭における儲けの合計を最大にするには焼きそば$1$人前を$\boxed{\text{(49)}\text{(50)}\text{(51)}}$円で売ればよく，そのときの儲けは異なる値段を付けて構わない場合と比べて$\boxed{\text{(49)}\text{(50)}\text{(51)}\text{(52)}}$円の減少となる．

【５】

　数列$\{a_n\}$に対して$r$番目ごとに数を除去した数列を求める操作を${\mathrm{R}}_r$とする．たとえば，数列$\{a_n\}$に${\mathrm{R}}_3$を適用すると

$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5\text{，}{a}_7\text{，}{a}_8\text{，}\cdots$

となる．また，数列$\{a_n\}$に対して$s_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とし，数列$\{s_n\}$を求める操作を$\mathrm{S}$とする．

(1)　数列$\{a_n\}\text{，}{a}_n=n$に対して，${\mathrm{R}}_4$を適用すると

$1\text{，}2\text{，}3\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{，}9\text{，}10\text{，}11\text{，}\cdots$

となるが，さらにこの数列に$\mathrm{S}$を適用して得られた数列を$\{b_n\}$とする．このとき

$b_1=1\text{，}{b}_2=3\text{，}{b}_3=6\text{，}{b}_4=11\text{，}\cdots \text{，}{b}_{10}=\boxed{\text{(101)}\text{(102)}}$

となる．一般に，$m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$および$k=0\text{，}1\text{，}2$に対して

$b_{3m-k}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(103)}\text{(104)}}{m}^2+\boxed{\text{(105)}\text{(106)}}km+\boxed{\text{(107)}\text{(108)}}{k}^2+\boxed{\text{(109)}\text{(110)}}k+\boxed{\text{(111)}\text{(112)}}}{\boxed{\text{(113)}\text{(114)}}}}$

となる．

(2)　さらに数列$\{b_n\}$に，${\mathrm{R}}_3\text{，}\mathrm{S}\text{，}{\mathrm{R}}_2\text{，}\mathrm{S}$をこの順に適用して求めた数列を$\{c_n\}$とすると

$c_1=1\text{，}{c}_2=\boxed{\text{(115)}\text{(116)}}\text{，}{c}_3=\boxed{\text{(117)}\text{(118)}}\text{，}\cdots \text{，}{c}_8=\boxed{\text{(119)}\text{(120)}\text{(121)}\text{(122)}}$

である．

(注)　(121)と(122)は解答マーク欄がないため記入不要

【６】　$8$クイーン問題とは，$8\times 8$のチェス盤に$8$個のクイーンを互いに駒が隣り合わないように配置する問題である．チェスのクイーンは縦横斜めの$8$方向に自由に動くことができる．右の図は$8$クイーン問題の$1$つの解を表している．クイーンの駒の位置は枠に$\mathrm{Q}$を入れることで示されている．それぞれの縦の列，それぞれの横の列（以下，行とよぶ）に$1$つずつクイーンが配置され，さらに，斜めの方向においても，互いに駒が隣り合わないように配置されている．

　つぎのプログラムは，$8$クイーン問題のすべての解を求めるプログラムである．配列 Q に行ごとのクイーンの位置を求めている．$1$行目からはじめて，順番にすでに配置した駒と隣り合わない位置に駒を置いていく．どうしても置くことができない場合には，一つ前の行に戻って，次に置く事ができる位置を求めている．

　たとえば，上の図の配置は最初に求まる解で，配列$\mathrm{Q}$には$1\text{，}5\text{，}8\text{，}6\text{，}3\text{，}7\text{，}2\text{，}4$が入っている．解の表示はプログラムの行番号 27 から始められる．

　プログラムの空欄に入るもっとも適切な行番号を選び，その番号を解答欄に答えなさい．

• 10 DIM Q(8)
• 11 I=1 TO 8
• 12 LET Q(I) = 0
• 13 NEXT I
• 14 LET N = 0
• 15 LET I = 0
• 16 LET I = I + 1
• 17 IF Q(I) = 8 THEN GOTO $\boxed{\text{(201)}\text{(202)}}$
• 18 LET Q(I) = Q(I) + 1
• 19 LET J = 1
• 20 IF J = I THEN GOTO 26
• 21 IF Q(J) = Q(I) THEN GOTO $\boxed{\text{(203)}\text{(204)}}$
• 22 IF Q(J) + (I - J) = Q(I) THEN GOTO $\boxed{\text{(205)}\text{(206)}}$
• 23 IF Q(J) - (I - J) = Q(I) THEN GOTO $\boxed{\text{(207)}\text{(208)}}$
• 24 LET J = J + 1
• 25 GOTO $\boxed{\text{(209)}\text{(210)}}$
• 26 IF < 8 THEN GOTO $\boxed{\text{(211)}\text{(212)}}$
• 27 LET N = N + 1
• 28 PRINT "No." ; N
• 29 FOR K = 1 TO 8
• 30 FOR L = 1 TO 8
• 31 IF L = Q(K) THEN GOTO 34
• 32 PRINT ".";
• 33 GOTO 35
• 34 PRINT "Q";
• 35 NEXT L
• 36 PRINT
• 37 NEXT K
• 38 PRINT
• 39 LET Q(I) = 0
• 40 LET I = I - 1
• 41 IF I > 0 THEN GOTO $\boxed{\text{(213)}\text{(214)}}$
• 42 END