2013　上智大学　文,総合人間,外国語学部2月4日実施MathJax

【１】

(1)　$f(x)$は$3$次の整式で$f(0)=0$を満たす．このとき，任意の実数$a$に対して

$f(a+1)-f(a)=a^2$

であれば

$f(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{x}^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}x$

である．

【１】

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$において，$\sin \theta >\cos \theta$かつ$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{7}{5}}$が成り立つとき

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

【１】

(3)　$a$を定数とする．関数$f(x)=x^3+a{x}^2-a^{2}x+3a$は，$a\ne \boxed{\text{ケ}}$のとき，$x=\boxed{\text{コ}}a$と$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}a$で極値をとる．ただし$\boxed{\text{コ}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$とする．$x$の方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解をもつような整数$a$の最大値は$\boxed{\text{ス}}$である．

【２】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=3$である$▵\mathrm{ABC}$を考える．$▵\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{BP}$の延長と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}$とおく．$▵\mathrm{ABC}\text{，}▵\mathrm{PAB}\text{，}▵\mathrm{PBC}\text{，}▵\mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S\text{，}{S}_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$とおくとき

$S_1:S_2:S_3=1:2:3$

が成立している．$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とおく．

(1)　$\mathrm{AD}=\boxed{\text{セ}}$である．$▵\mathrm{PDA}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}S$である．

(2)　$\mathrm{BD}=\boxed{\text{チ}}\mathrm{BP}$である．${\mathrm{BP}}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\cos \alpha$である．

(3)　${\mathrm{AP}}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\cos \alpha$である．

(4)　$\alpha$が変化するとき${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}$がとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}<{\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}<\boxed{\text{フ}}$

である．

【３】　$6$つの面すべてに図のような各面を$9$等分する平行線の入った立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において，$\mathrm{G}$から$\mathrm{A}$まで立方体の辺または平行線上を通って行く最短経路を考える．ただし，辺は両端点を含むものとする．

(1)　$\mathrm{C}$を通って$\mathrm{G}$から$\mathrm{A}$まで行く最短経路は$\boxed{\text{ヘ}}$である．

(2)　辺$\mathrm{BC}$上の少なくとも$1$つの点を通って$\mathrm{G}$から$\mathrm{A}$まで行く最短経路は$\boxed{\text{ホ}}$通りある．

(3)　辺$\mathrm{BC}$もしくは辺$\mathrm{CD}$上の少なくとも$1$つの点を通って$\mathrm{G}$から$\mathrm{A}$まで行く最短経路は$\boxed{\text{マ}}$通りある．

(4)　辺$\mathrm{EF}$もしくは辺$\mathrm{EH}$の少なくとも$1$つの点を通って$\mathrm{G}$から$\mathrm{A}$まで行く最短経路は$\boxed{\text{ミ}}$通りある．

(5)　$\mathrm{G}$から$\mathrm{A}$まで行く最短経路は$\boxed{\text{ム}}$通りある．