2013　上智大学　総合人間，法学部2月5日実施MathJax

【１】(1)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で$\tan 2\theta +\tan \theta -{\displaystyle \frac{2}{3}}=0$のとき$\tan \theta =\boxed{\text{ア}}$または$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}+\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{ア}}>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}+\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$とする．

【１】(2)　$a$を$1$でない正の実数，$x$と$y$を整数とするとき，条件

$-6\leqq x\leqq 6\text{，}a={\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{12}}\text{，}{\log }_{a}y=-1$

を満たす組$(x,y)$は$\boxed{\text{オ}}$個あり，その中で$x+y$が最小となる組は$(x,y)=(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})\text{，}x+y$が最大となる組は$(x,y)=(\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケ}})$である．

【１】(3)　座標平面において，円${(x-2)}^2+{(y-3)}^2=25$上に中心があり，$x$軸と$y$軸の両方に接する円のうち，半径が最大となるものは

${(x+\boxed{\text{コ}})}^2+{(y+\boxed{\text{サ}})}^2=\boxed{\text{シ}}$

である．

【２】　$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{BQ}$と$\mathrm{DP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\mathrm{PD}=\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$である．

(2)　$\mathrm{BQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$である．

(3)　$\mathrm{PR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\mathrm{PD}$である．

(4)　$\mathrm{AR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$である．

(5)　四面体$\mathrm{APCR}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$である．

(6)　$\mathrm{R}$から$▵\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}$である．

(7)　$\angle \mathrm{PAR}=\theta$とするとき$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$である．

【３】　さいころを$2$回投げて$1$回目に出た目を$a\text{，}2$回目に出た目を$b$とし，座標平面上の点$(a,b)$を$\mathrm{P}$で表す．

(1)　$b>a$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．

(2)　$7<a+b<10$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$である．

(3)　$a-2b+2>0$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}$である．

(4)　$a-2b+2<0$かつ$a+3b-13\leqq 0$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}$である．

(5)　$1<{(a-5)}^2+{(b-4)}^2<5$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}$である．

(6)　点$\mathrm{P}(a,b)$を中心とする半径$\sqrt{5}$の円が直線$x-2y+2=0$と接する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}$である．