2013　上智大学　経済(経営)学部2月6日実施MathJax

【１】

(1)　${\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{3}384+{\log }_{9}108-{\log }_{\sqrt{3}}6={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{\log }_{3}2$である．

【１】

(2)　${\displaystyle \frac{4}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}}=\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}\sqrt{2}+\boxed{\text{オ}}\sqrt{3}+\boxed{\text{カ}}\sqrt{6}$である．

【１】

(3)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq |x^2-2x|\\ y\leqq -x+6\\ |x|\leqq 2\end{array}$

の表す座標平面上の領域を$D$とする．

(ⅰ)　$D$の面積は$\boxed{\text{キ}}$である．

(ⅱ)　$(x,y)$が$D$を動くとき，$4x+y$の最大値は$\boxed{\text{ク}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　座標空間の$3$点$\mathrm{A}(2,0,1)\text{，}\mathrm{B}(3,0,3)\text{，}\mathrm{C}(2,1,-1)$を考える．さらに，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角を$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とすると，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

(3)　点$\mathrm{P}(1,{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{6}})$がある．点$\mathrm{Q}$が$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\perp \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\perp \overrightarrow{c}$を満たす必要十分条件は，ある実数$t$に対し，点$\mathrm{Q}$の座標が

$(\boxed{\text{セ}}t+\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}}t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}},t-{\displaystyle \frac{1}{6}})$

と表されることである．

　点$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\perp \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PH}}\perp \overrightarrow{c}$を満たし，さらに，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が定める平面上にあるとき，点$\mathrm{H}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}},\boxed{\text{ナ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}})$

である．

(4)　四面体$\mathrm{ABCP}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【３】　$k$を$2$以上の整数とし，方程式

$3x+2y+z=6k-1$

を考える．

(1)　方程式の正の整数解の組$(x,y,z)$の個数は，$k=2$のとき$\boxed{\text{ハ}}\text{，}k=3$のとき$\boxed{\text{ヒ}}$である．

(2)　方程式の正の整数解の組$(x,y,z)$において，$x$のとりうる値の個数は，$\boxed{\text{フ}}k+\boxed{\text{ヘ}}$である．

(3)　方程式の正の整数解の組$(x,y,z)$の個数は，$\boxed{\text{ホ}}{k}^2+\boxed{\text{マ}}k+\boxed{\text{ミ}}$である．

以下，$k$を$2$以上の偶数とする．

(4)　方程式の正の整数解の組$(x,y,z)$のうち$x\leqq k$を満たすものの個数は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}{k}^2+\boxed{\text{モ}}k+\boxed{\text{ヤ}}$

である．

(5)　方程式の正の整数解の組$(x,y,z)$のうち$x\leqq k\text{，}z\leqq 3k$を同時に満たすものの個数は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}{k}^2+\boxed{\text{ラ}}k+\boxed{\text{リ}}$

である．