2013　上智大学　法(法律),外国語学部2月9日実施MathJax

【１】

(1)　素数とは，$1$と自分自身以外に約数をもたない$2$以上の整数である．

(ⅰ)　$p$を素数とする．$2$次方程式$x^2-p^{2}x+4p^2=0$が素数$q$を解にもつならば，$p=\boxed{\text{ア}}\text{，}q=\boxed{\text{イ}}$である．

(ⅱ)　$x\text{，}y$を正の整数，$p$を素数とする．$4x^4+4y^4-x^2{y}^2=p$であるならば，$x=\boxed{\text{ウ}}\text{，}y=\boxed{\text{エ}}\text{，}p=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

(2)　実数$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha \leqq \beta \text{，}\beta \ne 0\text{）}$および自然数$n$に対して

$f(n)={\alpha }^n+{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^n}}+1$

とおく．$f(1)=4\text{，}f(2)=18$が成り立っているとき，$\alpha =\boxed{\text{カ}}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．また，このとき

$f(n+3)-4f(n+2)-f(n+1)+4f(n)=\boxed{\text{ケ}}$

である．

【１】

(3)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq -{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+{\displaystyle \frac{7}{3}}\\ y\geqq |x+1|\end{array}$

の表す座標平面上の領域の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$を考える．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$上にとり，$\mathrm{AP}=a\text{（}0<a<1\text{）}$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}⫽\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{QR}⫽\mathrm{AB}$となるようにとるとき，三角形$\mathrm{PQR}$の$3$辺の長さの和$l$は，

$l=\boxed{\text{シ}}+\sqrt{\boxed{\text{ス}}{a}^2+\boxed{\text{セ}}a+\boxed{\text{ソ}}}$

と表される．

(2)　点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{CQ}=a$となるようにとる．点$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{CA}$上を動くとき，$\mathrm{PR}+\mathrm{QR}$の最小値を$m$とする．このとき，$m$を$a$で表すと，

$m=\sqrt{\boxed{\text{タ}}{a}^2+\boxed{\text{チ}}a+\boxed{\text{ツ}}}$

となる．

(3)　点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$上を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の$3$辺の長さの和の最小値$n$を$a$で表すと，

$n=\sqrt{\boxed{\text{テ}}{a}^2+\boxed{\text{ト}}a+\boxed{\text{ナ}}}$

となる．また，$3$辺の長さの和が最小値$n$をとるとき，$\mathrm{AR}\text{，}\mathrm{CQ}$を$a$で表すと，

$\mathrm{AR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}{a}^2+\boxed{\text{ヌ}}a}{a+\boxed{\text{ネ}}}}\text{，}\mathrm{CQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}{a}^2+\boxed{\text{ハ}}a+\boxed{\text{ヒ}}}{a+\boxed{\text{フ}}}}$

である．

【３】　${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2$と名前がつけられた$4$個のさいころがある．これら$4$個のさいころは，外見上も容易に見分けがつくとする．また，すべてのさいころについて，$1$から$6$までのそれぞれの目が出る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$であるとする．

　最初に${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2$のさいころを投げ，以下の$2$つの条件を満たすように整数$a$を決める．

[条件１]　$a$の絶対値$|a|$は${\mathrm{A}}_1$の目である．

[条件２]　${\mathrm{A}}_2$の目が$3$または$6$であるならば$a<0$であり，$1\text{，}2\text{，}4\text{，}5$のいずれかであるならば$a>0$である．

　次に，${\mathrm{B}}_1$と${\mathrm{B}}_2$のさいころを投げる．${\mathrm{A}}_1$を${\mathrm{B}}_1$に置き換え，${\mathrm{A}}_2$を${\mathrm{B}}_2$に置き換えて，上の条件 [条件１] ，[条件２] を満たすように$1$つの整数$b$を決める．具体的に$2$つ挙げる．

(例１)　${\mathrm{A}}_1$の目が$2\text{，}{\mathrm{A}}_2$の目が$6$ならば，$a=-2$

(例２)　${\mathrm{B}}_1$の目が$3\text{，}{\mathrm{B}}_2$の目が$1$ならば，$b=3$

(1)　$4$個のさいころ${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2$を投げるとき，$ab=-1$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\text{，}ab=10$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．

(2)　$4$個のさいころ${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2$を投げることによって決まる整数$a$と$b$を用いて，関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める．

$f(x)=x^2+ax+b\text{，}g(x)=bx+a$

また，放物線$y=f(x)$を$C\text{，}$直線$y=g(x)$を$l$とする．

(ⅰ)　$C$と$l$が共有点をもたないような$a$と$b$の値の組の総数は，$\boxed{\text{ム}}$である．そのうち，$a$と$b$の符号がいずれも正である組は$\boxed{\text{メ}}$組あり，$a$と$b$の符号が異なる組は$\boxed{\text{モ}}$組ある．

(ⅱ)　$C$と$l$が共有点をもたない確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$である．