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2013-13363-0601
2013 上智大学 理工学部A方式
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】(1) 関数 f ⁡(x ) の x =a における微分係数の定義を述べよ.
(2) 関数 f ⁡(x ), g⁡ (x ) が微分可能であるとする.積の微分公式
(f ⁡(x )⁢g ⁡(x )) ′=f′ ⁡(x )⁢g ⁡(x )+f ⁡(x )⁢g ′⁡( x)
を証明せよ.
(3) f⁡( x)= xn ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) に対し,
f′⁡ (x) =n⁢x n-1
であることを,数学的帰納法により示せ.
2013-13363-0602
【2】 xy 平面上の 2 点 ( -1,0 ), (1 ,0) からの距離の積が 1 である点全体のなす集合を C とする.点 P ( x,y ) の原点 O からの距離を r , x 軸の正の向きと OP のなす角を θ とすると
(x ,y) =(r ⁢cos⁡θ ,r⁢sin ⁡θ )
が成り立つ.
(1) C は極方程式
r2 =2⁢cos ⁡2⁢ θ
で定義される曲線になることを示せ.
(2) C 上で x 座標が最大になる点の座標を求めよ.また, y 座標が最大になる点の座標を求めよ.
(3) C の概形を図示せよ.
(4) C で囲まれる図形の面積を求めよ.
2013-13363-0603
【3】 一辺の長さが 1 の正四面体 OABC がある.辺 OB を 2 :1 に外分する点を B′ , 辺 OC を 3 :2 に外分する点を C′ とする.すなわち,
OB′ →=2OB → ,OC ′→ =OC→
とする.
AB′= ア ,AC ′= イ , B ′C ′= ウ
であり, ▵AB′ C′ の面積は エ オ ⁢ カ である.四角錐 A‐ AB′C ′C の体積は キ ク ⁢ ケ である.点 O を中心とする球が ▵AB ′C ′ を含む平面と点 H で接しているとき,
OH= コ サ ⁢ シ
である.
▵ABC の重心を G とする.直線 OG が ▵AB ′C ′ と交わる点を G′ とすると,
OG′ →= ス セ ⁢ OG →
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【4】 log⁡A は A の自然対数, e は自然対数の底を表す.
次の事実は使ってよい. f⁡( x)= (x+ x2 +k ) ( k>0 ) のとき,
f′⁡ (x )= 1 x2 +k
(1) xy 平面上で,点 ( 0,1 ) を中心とする半径 1 の円を C とする.動点 P が時刻 t =0 に原点 ( 0,0 ) を出発し, x 軸上を正の向きに進むとき, P と点 ( 0,2 ) とを通る直線が円 C と交わる点で ( 0,2 ) 以外の点を Q とする.時刻 t における点 P の座標を ( x⁡( t), 0) とすると,そのときの点 Q の座標は
( ソ ⁢ x⁡( t) x⁡ (t) 2+ タ , チ ⁢ x ⁡(t )2 x⁡ (t) 2+ タ )
であり,点 Q の速さは ツ x⁡( t)2 + テ × d x⁡( t) dt である.
(2) 点 P の速さと点 Q の速さの積が常に 1 に保たれていると仮定する.このとき
log⁡( x⁡( t)+ x⁡ (t) 2+ ト )= ナ ニ ⁢ t+ log⁡ ヌ
が成り立つ.したがって,
x⁡( t)= ea⁢ t+ ネ ⁢ e -a⁢ t
となる.ここで, a= ノ ハ >0 である.