2013 上智大学 経済学部2月8日実施MathJax

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2013 上智大学 経済(経済)学部

2月8日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(1)  0x< 2π であるとし,

f( x)= cos4 x+sin 3x- sin4 x+2 sinx

とおく. f( x) は, sinx= のときに最大値 をとり, sinx= のときに最小値をとる.

2013 上智大学 経済(経済)学部

2月8日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(2) 数列 { an } を,次のように定義する.

a1 =a2 =1 a n=a n-1 +an -2 n= 3 4 5

さらに,数列 { an } を用いて,

Sn, m= k =0m -1 an+ k m=1 2 3

と定める.

(ⅰ)  S3 ,6= S4 ,6= である.一般に,すべての自然数 n に対し,次が成り立つ.

Sn, 6= an+2 + a n+4 +an +5 = an+2 +a n+3 + an+4 = an +4

(ⅱ) すべての自然数 n に対し, Sn, 10=q an +r を満たす自然数 q r は, q= r= である.

2013 上智大学 経済(経済)学部

2月8日実施

易□ 並□ 難□

【2】  a b を実数とし, C1 C2 をそれぞれ次の 2 次関数のグラフとする.

C1: y=x2 C 2:y= -(x -a) 2+b

(1)  C1 C 2 が共有点をもつための必要十分条件は,

a2+ b0

である.

(2)  C1 C 2 が異なる 2 つの共有点をもつとき,それらの共有点を P Q とする.ただし,点 P x 座標を p Q x 座標を q とすると, q<p である.このとき,

pq= 1 ( a2+ b)

が成り立つ.点 P における C 1 の接線を l Q における C 1 の接線を m とする.直線 l は,

y= p x+ p2

と表される.

  a>0 b= 72 とし,直線 l m が直交するならば,

a= p= 12 ( + )

となる.このとき, C1 C 2 で囲まれた図形の面積は, である.

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2月8日実施

易□ 並□ 難□

2013年上智大2月8日経済学部【3】の図

図1

2013年上智大2月8日経済学部【3】の図

図2

2013年上智大2月8日経済学部【3】の図

図3

【3】  xy 平面に,次のような 3 つの壁 L U S がある(図1).

L={ (x, -2) | 0x 9} U= {( x,4) | 0x 9}

S={ (9, y) | -2<y <4}

平面上を動く点 P ( m,n ) を考える. P が移動できる点は, (m +1,n +1) または ( m+1, n-1 ) である(図2). P は原点 O を出発して壁 L U S のいずれかに到達するまで移動を続け,いずれかの壁に到達すると移動を停止する.

(1) 原点 O を出発した P が壁 U に到達して移動を停止する場合の経路の数を考える.点 ( 4,4 ) に到達して移動を停止する場合の経路の数は,図3のように 1 通りである.また,点 ( 6,4 ) ( 8,4 ) に到達して移動を停止する場合の経路の数は,それぞれ 通り, 通りである.

(2) 原点 O を出発した P が壁 L に到達して移動を停止する場合の経路の数は,全部で 通りある.

(3)  P (m ,n) ( m+1, n+1 ) に移動する確率と, P (m ,n) ( m+1, n-1 ) に移動する確率が,いずれも 12 であるとする.このとき,原点 O を出発した P が壁 L に到達して停止する確率を既約分数 a2b の形で表すと, a= b= である.また, P が壁 S へ到達して停止する確率を既約分数 c2d の形で表すと, c= d= である.



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