2013　上智大学　理工学部B方式2月7日実施MathJax

【１】

(1)　次の行列が表す$xy$平面上の$1$次変換を，下の選択肢から選べ．

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$は$\boxed{\text{あ}}\text{，}\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$は$\boxed{\text{い}}\text{，}\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$は$\boxed{\text{う}}$

である．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$を，上記選択肢(c)の$1$次変換で移し，さらに選択肢(h)の$1$次変換で移した点$\mathrm{Q}$は，直線$\mathrm{OP}$上にあった．

このとき，$\mathrm{OQ}$の長さは$\mathrm{OP}$の長さの$\boxed{\text{ア}}$倍になる．また，点$\mathrm{P}$は$2$本の直線

$y=(\pm \boxed{\text{イ}}-\sqrt{\boxed{\text{ウ}}})x$

のいずれかの上にある．

【１】

(2)　池の周りに，池を囲むように$8$本の木が植えられている．これらの木の間に，全部で$3$本のチューリップを植える．ただし，木はそれぞれ見分けがつくものとする．チューリップは，異なる色のものは見分けることができ，同じ色のものは見分けられないものとする．それぞれの木の間にはチューリップを複数本植えてよく，その順番や配置などは区別しないものとする．

このとき，

(ⅰ)　赤，黄，白のチューリップを$1$本ずつ植える方法は$\boxed{\text{エ}}$通りある．

(ⅱ)　赤いチューリップを$2$本，黄色いチューリップを$1$本植える方法は$\boxed{\text{オ}}$通りある．

(ⅲ)　赤いチューリップを$3$本植える方法は$\boxed{\text{カ}}$通りある．

【２】　$xy$平面上の点$\mathrm{A}(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$を中心とする半径$4$の円を$R$とする．糸の一方の端点を原点$\mathrm{O}$に固定し，糸をたるみのない状態で円$R$に下側から$1$点で接するように張ったとき，$\mathrm{O}$と反対側の糸の端点を$\mathrm{P}$とする．糸と円$R$との接点を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さが$4\pi$であった．

(1)　$\mathrm{OB}=\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$であり，$\mathrm{OB}$と$x$軸の正の向きとのなす角は$\boxed{\text{ケ}}\mathrm{°}$である．また$\mathrm{B}$の$x$座標は$\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．

(2)　次に糸をたるみのないように張ったままの状態で，点$\mathrm{B}$を起点として糸の$\mathrm{BP}$の部分を毎秒$30\mathrm{°}$の割合で円$R$に巻きつけていく．糸が巻きついている部分の，$\mathrm{B}$ではない方の端点を$\mathrm{C}$とする．$0\leqq t\leqq 6$とするとき，巻きつけ始めてから$t$秒後の時点で，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{ス}}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{セ}}}}(t-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}})\text{ラジアン，}$である．ただし$-\pi \leqq \theta \leqq \pi$とする．また

$\mathrm{CP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\pi (\boxed{\text{テ}}-t)$

である．このときの点$\mathrm{P}$の速さは，

${\displaystyle \frac{{\pi }^a}{\boxed{\text{ト}}}}(\boxed{\text{ナ}}-t)\text{，}$ただし$a=\boxed{\text{ニ}}\text{，}$

である．

【３】　$s\text{，}t$を実数とし，関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^3+9x-5& \text{（}x\leqq 2\text{）}\\ {\displaystyle \frac{3}{x-t}}+s& \text{（}x>2\text{）}\end{array}$

がすべての実数$x$に対して定義され，$x=2$で微分可能であるとする．また，実数$a$と正の実数$b$に対し，

$A=\{x|f(x)<a\}\text{，}B=\{x|-b<x<b\}$

とする．

(1)　$t=\boxed{\text{ヌ}}\text{，}s=\boxed{\text{ネ}}$である．

(2)　$A$が空集合であるための必要十分条件は，

$a\boxed{\text{え}}\boxed{\text{ノ}}+\boxed{\text{ハ}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}$

である．

(3)　$B\subset A$となる正の実数$b$が存在するための必要十分条件は，

$a\boxed{\text{お}}\boxed{\text{フ}}$

である．

(4)　$A\subset B$となる正の実数$b$が存在するための必要十分条件は，

$a\boxed{\text{か}}\boxed{\text{ヘ}}$

である．

(5)　$x_1<x_2<x_3$かつ$x_1\text{，}{x}_3\in A\text{，}{x}_2\notin A$を満たす実数$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$が存在するための必要十分条件は，

$a\boxed{\text{き}}\boxed{\text{ホ}}$かつ$a\boxed{\text{く}}\boxed{\text{マ}}+\boxed{\text{ミ}}\sqrt{\boxed{\text{ム}}}$

である．

【４】(1)　$xy$平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$における$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{A}\text{，}y$軸と交わる点を$\mathrm{B}$とする．

$\mathrm{OA}=\boxed{\text{け}}\text{，}\mathrm{OB}=\boxed{\text{こ}}\text{，}\mathrm{AB}=\boxed{\text{さ}}$

である．

(2)　$xyz$空間において，頂点が$z$軸上の正の部分にあり，底面が$xy$平面上にある直円錐で，その側面が原点を中心とする半径$1$の球面に接しているものを考える．そのような直円錐のうち，表面積が最小になる場合を考えると，その表面積は$\boxed{\text{メ}}\pi$であり，頂点の$z$座標は$\boxed{\text{モ}}$である．また，体積が最小になる場合を考えると，その体積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}}{\boxed{\text{ユ}}}}\pi$であり，頂点の$z$座標は$\sqrt{\boxed{\text{ヨ}}}$である．