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2013-13442-0101
2013 東京理科大学 経営学部B方式
乙型の1
2月3日実施
(1),(2)合わせて配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の(1)と(2)に答えなさい.
(1) 次を満たす実数 x の値を求めなさい.
23⁢ x+1 -3⋅2 2⁢x -23⋅2 x+12 =0
2013-13442-0102
(2) e は自然対数の底である.
(a) 関数 F ⁡(x ) を F ⁡(x )=( x2+ a⁢x+ b)⁢ ex とする.次を満たす a , b の値を求めなさい.ただし, F′⁡ (x ) は関数 F ⁡(x ) の導関数である.
F′⁡ (x )=( x2- 4)⁢ ex
(b) xy 平面において,曲線 C :y=( x2- 4)⁢ ex と x 軸によって囲まれた図形の面積を求めなさい.
2013-13442-0103
配点30点
【2】 2 つの数 x , y に対し,
s=x+ y, t=x ⁢y
とおく.
(1) x ,y が実数を動くとき,点 ( s,t ) の存在範囲を求めなさい.
(2) 実数 x , y が
( x-y) 2+ x2⁢ y2= 4
を満たしながら変化するとする.
(a) 点 ( s,t ) の描く図形を s t 平面上に図示しなさい.
(b) (1 -x) ⁢(1 -y) の取りうる値の範囲を求めなさい.
2013-13442-0104
30点
【3】 次の問いに答えなさい.ただし, n は自然数である.
(1) xn -1 は x -1 で割り切れることを示しなさい.
(2) 16n -1 は 5 で割り切れることを示しなさい.
(3) 4n +1 は, n が奇数のとき 5 で割り切れ, n が偶数のとき 5 で割り切れないことを示しなさい.
(4) n が偶数のとき,自然数 k は k ⁢( 4n+ 1) を 5 で割った余りが 1 であるようなものとする.このような k のなかで最小なものを求めなさい.