2013　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ル}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$を$0$でない実数として，行列$A=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -{\displaystyle \frac{3}{\beta }}& 1-\alpha \end{array}\right)$を考える．行列$P=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -3& 0\end{array}\right)$に対して，$AP=PA$とする．このとき，

$\alpha =\boxed{\text{ア}}\text{，}\beta =\boxed{\text{イ}}$または$\alpha =-\boxed{\text{ウ}}\text{，}\beta =-\boxed{\text{エ}}$

である．$\alpha >0$のとき，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とおくと，$A^2=\boxed{\text{オ}}A-\boxed{\text{カ}}E$が成り立ち，$A^n=E$となる最小の正の整数$n$は$n=\boxed{\text{キ}}$である．さらに，このとき

$A^{11}=\left(\begin{array}{cc}-\boxed{\text{ク}}& -\boxed{\text{ケ}}\\ \boxed{\text{コ}}& \boxed{\text{サ}}\end{array}\right)$

である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ル}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$で定義された関数

$f(\theta )=-{\displaystyle \frac{13}{24}}\sin \theta -{\displaystyle \frac{1}{12}}\sin \theta \cos 2\theta -{\displaystyle \frac{1}{24}}\sin 3\theta$

を考える．この式を変形すると

$f(\theta )={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}{\sin }^3\theta -{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\sin \theta$

となり，$f(\theta )$は$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\pi$（順不同）のとき最大値${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$をとり，$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\pi$（順不同）のとき最小値$-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$をとる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ル}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{(x+a)-\sqrt{x^2+9}}{5x}}$が$x\to 0$のとき収束するような定数$a$は$a=\boxed{\text{フ}}$であり，その極限値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ル}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(4)　$1$から$6$までの数字の書かれたさいころがあり，$1$回投げるときのそれぞれの目が出る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$である．このさいころを$3$回投げて，出た目を順に$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$とする．

(a)　$x_1>x_2$かつ$x_1>x_3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}\text{メ}\text{モ}}}}$である．

(b)　$x_1<x_2<x_3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}\text{ヨ}}}}$である．

(c)　$3x_1+2x_2-x_3=12$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}\text{ル}}}}$である．

【２】　座標平面において曲線

$C:y={\displaystyle \frac{2}{x}}+2\text{（}x>0\text{）}$

を考える．点$\mathrm{A}(t,{\displaystyle \frac{2}{t}}+2)$を$C$上の点とする．点$(0,-1)$と点$\mathrm{A}$との距離を$d$とする．

(1)　$d$を$t$を用いて表せ．

(2)　$d$を最小にする点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

$d$が最小のとき，点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線を$l$とする．

(3)　$l$の方程式を求めよ．

(4)　$l$と$x$軸との交点を通り，$y$軸に平行な直線を$m$とする．このとき，曲線$C\text{，}$直線$l$および直線$m$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【３】　$f(x)=|x^2-1|$とおく．座標平面において$y=f(x)$のグラフを考える．

(1)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点，および，$y$軸との共有点を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　$k$を正の実数とするとき，直線$y=kx$と曲線$y=f(x)$の$2$つの交点の$x$座標を，小さい方から順に$\alpha \text{，}\beta$とする．$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を，$a_1=1$とし，$n\geqq 2$のときには，直線$y=a_{n-1}x$と曲線$y=f(x)$の$2$つの交点の中点をとり，その$x$座標を$a_n$として定める．

(3)　${a_n}^2$を$n$を用いて表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．